Seja P(x)=x^{2}+b x+c, onde b e c são númeors reais. Verifique que
x^{2}+b x+c=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4}+c .

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
P(x)=x^{2}+b\,x+c
e pede para verificar a técnica de completar o quadrado, mostrando que
x^{2}+b\,x+c=\Bigl(x+\tfrac{b}{2}\Bigr)^{2}-\tfrac{b^{2}}{4}+c.

Passo 2

Começamos expandindo o quadrado
\Bigl(x+\tfrac{b}{2}\Bigr)^{2} = x^{2}+2\cdot x\cdot\tfrac{b}{2}+\Bigl(\tfrac{b}{2}\Bigr)^{2} = x^{2}+b\,x+\tfrac{b^{2}}{4}.
Em seguida, subtraímos \tfrac{b^{2}}{4} e somamos c:
\Bigl(x+\tfrac{b}{2}\Bigr)^{2}-\tfrac{b^{2}}{4}+c = \bigl(x^{2}+b\,x+\tfrac{b^{2}}{4}\bigr)-\tfrac{b^{2}}{4}+c = x^{2}+b\,x+c.

Passo 3

Concluímos que, de fato, ao expandir e simplificar, obtemos exatamente x^{2}+b\,x+c, provando a identidade desejada.

Resposta

x^{2}+b\,x+c=\Bigl(x+\tfrac{b}{2}\Bigr)^{2}-\tfrac{b^{2}}{4}+c.

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