Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Temos um número natural
com três algarismos. - Se subtrairmos
de obtemos o número formado invertendo a ordem dos algarismos de . - A soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de
é igual a .
Pergunta: qual é o algarismo das centenas de
? (alternativas:
).
Informações relevantes listadas a partir do enunciado:
- O número
tem três algarismos: podemos representá-lo pelos algarismos da centenas, dezenas e unidades, que chamarei de , e , respectivamente. -
é um dígito entre e , e são dígitos entre e . - A condição de inversão diz que
número com algaritos invertidos. - A condição da soma diz que
.
Passo 2
Modelando numericamente o número e seu invertido:
- O número original
escrito com os dígitos é
- O número com os algarismos invertidos (unidades vira centenas, centenas vira unidades, a dezena permanece) é
- A condição do enunciado é
Passo 3
Simplificar a equação removendo termos iguais e recolhendo semelhantes:
- Da equação anterior, os termos
aparecem dos dois lados e se cancelam. Resta
- Agrupando termos com
de um lado e com do outro:
- Calculando
e , obtemos
Passo 4
Isolar a diferença entre
e
:
- Podemos colocar os termos de
e no mesmo lado:
- Fatorando
:
- Dividindo ambos os lados por
(observe que ), e sabendo que , vem
Isso é muito útil: a diferença entre o algarismo das centenas e o das unidades é
.
Passo 5
Usar a segunda condição [a+c=8) e resolver o sistema linear simples:
- Temos o sistema de duas equações com as duas incógnitas
e :
-
Soma as duas equações para eliminar (c]:
-
Dividindo por
:
- Se precisar, encontramos
também: de vem . Ambos são dígitos válidos ( entre e , entre e ).]
Passo 6
Verificação rápida (para ficar tranquilo):
- O número
tem , . Podemos escolher qualquer entre e e verificar a condição principal: como usamos apenas o cancelamento do , a igualdade invertido depende só de e . Com e obtemos , que satisfaz a equação derivada, então está consistente.