Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Temos um número natural N com três algarismos.
  • Se subtrairmos 396 de N obtemos o número formado invertendo a ordem dos algarismos de N.
  • A soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8.
Pergunta: qual é o algarismo das centenas de N? (alternativas: 4,5,6,7).
Informações relevantes listadas a partir do enunciado:
  • O número N tem três algarismos: podemos representá-lo pelos algarismos da centenas, dezenas e unidades, que chamarei de a, b e c, respectivamente.
  • a é um dígito entre 1 e 9, b e c são dígitos entre 0 e 9.
  • A condição de inversão diz que N-396= número com algaritos invertidos.
  • A condição da soma diz que a+c=8.

Passo 2

Modelando numericamente o número e seu invertido:
  • O número original N escrito com os dígitos a,b,c é
N = 100a + 10b + c.
  • O número com os algarismos invertidos (unidades vira centenas, centenas vira unidades, a dezena permanece) é
\text{invertido} = 100c + 10b + a.
  • A condição do enunciado é
100a + 10b + c - 396 = 100c + 10b + a.

Passo 3

Simplificar a equação removendo termos iguais e recolhendo semelhantes:
  • Da equação anterior, os termos 10b aparecem dos dois lados e se cancelam. Resta
100a + c - 396 = 100c + a.
  • Agrupando termos com a de um lado e com c do outro:
100a - a - 396 = 100c - c.
  • Calculando 100a - a = 99a e 100c - c = 99c, obtemos
99a - 396 = 99c.

Passo 4

Isolar a diferença entre a e c:
  • Podemos colocar os termos de a e c no mesmo lado:
99a - 99c = 396.
  • Fatorando 99:
99(a-c) = 396.
  • Dividindo ambos os lados por 99 (observe que 99\neq0), e sabendo que 99\cdot4=396, vem
a - c = 4.
Isso é muito útil: a diferença entre o algarismo das centenas e o das unidades é 4.

Passo 5

Usar a segunda condição [a+c=8) e resolver o sistema linear simples:
  • Temos o sistema de duas equações com as duas incógnitas a e c:
\begin{cases} a - c = 4,\\[4pt] a + c = 8. \end{cases}
  • Soma as duas equações para eliminar (c]:
    (a-c)+(a+c)=4+8 \quad\Rightarrow\quad 2a = 12.
  • Dividindo por 2:
a = 6.
  • Se precisar, encontramos c também: de a+c=8 vem c = 8 - a = 8 - 6 = 2. Ambos são dígitos válidos ( a entre 1 e 9, c entre 0 e 9).]

Passo 6

Verificação rápida (para ficar tranquilo):
  • O número N tem a=6, c=2. Podemos escolher qualquer b entre 0 e 9 e verificar a condição principal: como usamos apenas o cancelamento do 10b, a igualdade N-396= invertido depende só de a e c. Com a=6 e c=2 obtemos a-c=4, que satisfaz a equação derivada, então está consistente.

Resposta

6

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