Seja A um número natural de dois algarismos não nulos. Trocando-se a posição desses dois algarismos, obtém-se um novo número natural B de modo que \mathrm{A}-\mathrm{B}=63. A soma de todos os números naturais A que satisfazem as condições dadas é
a) 156
b) 164
c) 173
d) 187

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a soma de todos os números A que satisfazem as condições:
  • A é um número natural de dois algarismos não nulos (ou seja, ambos os algarismos são de 1 a 9).
  • Ao trocar a posição dos dois algarismos de A obtém-se um novo número B.
  • Tem-se A-B=63.
    Pergunta: qual é a soma de todos os números A que obedecem a essas condições? (Opções: 156,\,164,\,173,\,187.)

Passo 2

Modelagem dos algarismos: seja x o algarismo das dezenas e y o algarismo das unidades de A. Como ambos são não nulos e são algarismos, vale
x\in\{1,2,\dots,9\},\qquad y\in\{1,2,\dots,9\}.
Escrevemos A e B em função de x e y:
A=10x+y,\qquad B=10y+x.
Isto é só transformar a ideia "algarismo das dezenas x e das unidades y" em número.

Passo 3

Calcular a diferença A-B em termos de x e y. Substituindo:
A-B=(10x+y)-(10y+x)=9x-9y=9(x-y).
Explicação: agrupei termos semelhantes e fatorei 9; isso é uma técnica padrão para trabalhar com números formados por algarismos.

Passo 4

Usar a condição do enunciado A-B=63. Igualando:
9(x-y)=63.
Dividindo ambos os lados por 9 (pois 9\neq0):
x-y=7.
Ou seja, a diferença entre o algarismo das dezenas e o das unidades é 7.

Passo 5

Encontrar pares de algarismos (x,y) inteiros entre 1 e 9 que satisfaçam x-y=7.
Escrevendo x=y+7. Como x\le9, temos y+7\le9 então y\le2. Também y\ge1. Portanto y só pode ser 1 ou 2.
  • Se y=1 então x=8.
  • Se y=2 então x=9.
    Teste rápido: para y=3 teríamos x=10 que não é um algarismo válido. Logo só há dois pares possíveis: (x,y)=(8,1) e (9,2).

Passo 6

Construir os números A correspondentes e verificar:
  • Para (x,y)=(8,1): A=10\cdot8+1=81. O número trocado é B=18 e 81-18=63 confirma.
  • Para (x,y)=(9,2): A=10\cdot9+2=92. O número trocado é B=29 e 92-29=63 confirma.

Passo 7

Somar todos os números A encontrados:
81+92=173.

Resposta

173

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