Seja A um número natural de dois algarismos não nulos. Trocando-se a posição desses dois algarismos, obtém-se um novo número natural B de modo que
. A soma de todos os números naturais A que satisfazem as condições dadas é
a) 156
b) 164
c) 173
d) 187
a) 156
b) 164
c) 173
d) 187
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a soma de todos os números
que satisfazem as condições:
-
é um número natural de dois algarismos não nulos (ou seja, ambos os algarismos são de a ). - Ao trocar a posição dos dois algarismos de
obtém-se um novo número . - Tem-se
.
Pergunta: qual é a soma de todos os númerosque obedecem a essas condições? (Opções: .)
Passo 2
Modelagem dos algarismos: seja
o algarismo das dezenas e
o algarismo das unidades de
. Como ambos são não nulos e são algarismos, vale
Escrevemos
e
em função de
e
:
Isto é só transformar a ideia "algarismo das dezenas
e das unidades
" em número.
Passo 3
Calcular a diferença
em termos de
e
. Substituindo:
Explicação: agrupei termos semelhantes e fatorei
; isso é uma técnica padrão para trabalhar com números formados por algarismos.
Passo 4
Usar a condição do enunciado
. Igualando:
Dividindo ambos os lados por
(pois
):
Ou seja, a diferença entre o algarismo das dezenas e o das unidades é
.
Passo 5
Encontrar pares de algarismos
inteiros entre
e
que satisfaçam
.
Escrevendo . Como
, temos
então
. Também
. Portanto
só pode ser
ou
.
Escrevendo
- Se
então . - Se
então .
Teste rápido: parateríamos que não é um algarismo válido. Logo só há dois pares possíveis: e .
Passo 6
Construir os números
correspondentes e verificar:
- Para
: . O número trocado é e confirma. - Para
: . O número trocado é e confirma.
Passo 7
Somar todos os números
encontrados:
Resposta
173