A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma desses algarismos é igual ao próprio número, então o produto dos algarismos é igual a
a) 10 .
b) 12 .
c) 14 .
a) 10 .
b) 12 .
c) 14 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- A representação decimal do número inteiro positivo tem dois algarismos.
- O triplo da soma desses dois algarismos é igual ao próprio número.
O que se pede: - Determinar o produto dos algarismos desse número.
Passo 2
Vamos nomear os dois algarismos para trabalhar com símbolos. Seja
o algarismo das dezenas e
o algarismo das unidades. Então:
- O número de dois algarismos vale
. - A condição do enunciado diz que o triplo da soma dos algarismos é igual ao número, isto é:
Lembrete sobre limites dos algarismos:
porque
não pode ser zero num número de dois algarismos.
Passo 3
Vamos manipular a equação para isolar termos. Partindo de
expandimos o lado esquerdo:
Agora trazemos todos os termos para um lado:
ou, reorganizando,
Passo 4
A equação
é uma equação diofantina simples. Observe que
é par, logo
é par. Como
é ímpar, isso implica que
deve ser par. Os possíveis valores pares para
no intervalo de algarismos são
Para cada um calculamos
e verificamos se
é um algarismo (inteiro entre
e
):
- Se
, então . Válido. - Se
, então . Inválido ( ). - Se
, então . Inválido. - Se
, então . Inválido.
Portanto a única possibilidade compatível com as restrições ée .
Passo 5
Agora calculamos o produto dos algarismos:
É sempre bom checar a condição original com esses algarismos: a soma é
, o triplo é
, que é justamente o número
. Tudo consistente.
Resposta
c) 14.