A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma desses algarismos é igual ao próprio número, então o produto dos algarismos é igual a
a) 10 .
b) 12 .
c) 14 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • A representação decimal do número inteiro positivo tem dois algarismos.
  • O triplo da soma desses dois algarismos é igual ao próprio número.
    O que se pede:
  • Determinar o produto dos algarismos desse número.

Passo 2

Vamos nomear os dois algarismos para trabalhar com símbolos. Seja a o algarismo das dezenas e b o algarismo das unidades. Então:
  • O número de dois algarismos vale \,10a+b\,.
  • A condição do enunciado diz que o triplo da soma dos algarismos é igual ao número, isto é:
3\,(a+b)=10a+b.
Lembrete sobre limites dos algarismos:
1\le a\le 9,\qquad 0\le b\le 9,
porque a não pode ser zero num número de dois algarismos.

Passo 3

Vamos manipular a equação para isolar termos. Partindo de
3(a+b)=10a+b,
expandimos o lado esquerdo:
3a+3b=10a+b.
Agora trazemos todos os termos para um lado:
0=10a+b-(3a+3b)=7a-2b,
ou, reorganizando,
7a=2b.

Passo 4

A equação 7a=2b é uma equação diofantina simples. Observe que 2b é par, logo 7a é par. Como 7 é ímpar, isso implica que a deve ser par. Os possíveis valores pares para a no intervalo de algarismos são
a\in\{2,4,6,8\}.
Para cada um calculamos b=\dfrac{7a}{2} e verificamos se b é um algarismo (inteiro entre 0 e 9):
  • Se a=2, então b=\dfrac{7\cdot2}{2}=7. Válido.
  • Se a=4, então b=\dfrac{7\cdot4}{2}=14. Inválido ( b>9).
  • Se a=6, então b=\dfrac{7\cdot6}{2}=21. Inválido.
  • Se a=8, então b=\dfrac{7\cdot8}{2}=28. Inválido.
    Portanto a única possibilidade compatível com as restrições é a=2 e b=7.

Passo 5

Agora calculamos o produto dos algarismos:
a\cdot b = 2\cdot7 = 14.
É sempre bom checar a condição original com esses algarismos: a soma é 2+7=9, o triplo é 3\cdot9=27, que é justamente o número \,10\cdot2+7=27. Tudo consistente.

Resposta

c) 14.

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