9.1 Qual é o número de onda do estiramento no infravermelho esperado para o { }^{3} \mathrm{H}^{35} \mathrm{Cl} gasoso, sabendo-se que o valor correspondente para { }^{1} \mathrm{H}^{35} \mathrm{Cl} é 2991 \mathrm{~cm}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado pede o número de onda do modo de estiramento no infravermelho para o gás ^3\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}, sabendo que o valor correspondente para ^1\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} é 2991\\ \mathrm{cm}^{-1}. Informação dada:
  • \tilde{\nu}\bigl(^1\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}\bigr)=2991\\ \mathrm{cm}^{-1}.
  • Queremos \tilde{\nu}\bigl(^3\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}\bigr).
  • A massa do cloro é 35 (usar ^ {35}\mathrm{Cl}); vamos aproximar as massas atômicas por números inteiros: m_{^1\mathrm{H}}=1, m_{^3\mathrm{H}}=3, m_{\mathrm{Cl}}=35 (unidade: unidades de massa atômica, u). Não há necessidade de valores em kg porque só usaremos razões que cancelam a unidade.

Passo 2

Conceito básico: para uma molécula diatômica o número de onda da vibração de estiramento (assinada pela frequência vibracional) é dado por
\tilde{\nu}=\frac{1}{2\pi c}\sqrt{\frac{k}{\mu}},
onde:
  • \tilde{\nu} é o número de onda (em \mathrm{cm}^{-1}),
  • c é a velocidade da luz (constante),
  • k é a constante de força da ligação (mesma para isotopólogos porque a ligação química não muda significativamente),
  • \mu é a massa reduzida da molécula.
    Explicando a massa reduzida: é a “massa efetiva” que aparece na equação do oscilador harmônico para duas massas ligadas.

Passo 3

Como k e c são os mesmos para os dois isótopos, as diferenças nos números de onda vêm só de \mu. Portanto, a razão entre números de onda para os dois isótopos satisfaz
\frac{\tilde{\nu}_2}{\tilde{\nu}_1}=\sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}}.
Isto é prático na prova: para isótopos, \tilde{\nu} escala com \mu^{-1/2}.

Passo 4

Fórmula da massa reduzida: para duas massas m_1 e m_2,
\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.
Aqui m_1 e m_2 são as massas das duas espécies atômicas (em u ou em kg — a razão que usaremos não depende da unidade, contanto que as duas massas estejam na mesma unidade).

Passo 5

Calcular a massa reduzida para ^1\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} (vou chamar de \mu_H) e para ^3\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} (chamo de \mu_T) usando as aproximações m_{^1\mathrm{H}}=1, m_{^3\mathrm{H}}=3, m_{\mathrm{Cl}}=35.
Para ^1\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}:
\mu_H=\frac{1\cdot35}{1+35}=\frac{35}{36}.
Para ^3\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}:
\mu_T=\frac{3\cdot35}{3+35}=\frac{105}{38}.

Passo 6

Montar a razão que aparece na escala de frequências:
\frac{\mu_H}{\mu_T}=\frac{\dfrac{35}{36}}{\dfrac{105}{38}}=\frac{35}{36}\cdot\frac{38}{105}.
Simplificando:
\frac{35}{105}=\frac{1}{3}\quad\text{e}\quad\frac{38}{36}=\frac{19}{18},
portanto
\frac{\mu_H}{\mu_T}=\frac{1}{3}\cdot\frac{19}{18}=\frac{19}{54}.

Passo 7

Agora precisamos de \sqrt{\dfrac{\mu_H}{\mu_T}}:
\sqrt{\frac{19}{54}}\approx 0,59317\qquad(\text{aproximação numérica}).çãé
Este fator é o quanto a frequência (ou número de onda) de ^1\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} deve ser multiplicada para obter a de ^3\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}.

Passo 8

Calcular o número de onda pedido:
\tilde{\nu}\bigl(^3\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}\bigr)=\tilde{\nu}\bigl(^1\mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}\bigr)\sqrt{\frac{\mu_H}{\mu_T}}=2991\\ \mathrm{cm}^{-1}\times 0,59317\approx 1774\\ \mathrm{cm}^{-1}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos, obtemos 1774\\ \mathrm{cm}^{-1}.

Passo 9

Dica rápida para a prova: sempre que trocarem um isótopo numa molécula diatômica, use \tilde{\nu}\propto\mu^{-1/2}. Calcule \mu com a fórmula \mu=m_1m_2/(m_1+m_2) e faça a razão entre as massas reduzidas — é muito mais rápido que recalcular constantes de força ou converter unidades.

Resposta

1774\\ \mathrm{cm}^{-1}

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