9.1 Qual é o número de onda do estiramento no infravermelho esperado para o
gasoso, sabendo-se que o valor correspondente para
é
?
Passo 1
O enunciado pede o número de onda do modo de estiramento no infravermelho para o gás
, sabendo que o valor correspondente para
é
. Informação dada:
-
. - Queremos
. - A massa do cloro é
(usar ); vamos aproximar as massas atômicas por números inteiros: , , (unidade: unidades de massa atômica, ). Não há necessidade de valores em kg porque só usaremos razões que cancelam a unidade.
Passo 2
Conceito básico: para uma molécula diatômica o número de onda da vibração de estiramento (assinada pela frequência vibracional) é dado por
onde:
-
é o número de onda (em ), -
é a velocidade da luz (constante), -
é a constante de força da ligação (mesma para isotopólogos porque a ligação química não muda significativamente), -
é a massa reduzida da molécula.
Explicando a massa reduzida: é a “massa efetiva” que aparece na equação do oscilador harmônico para duas massas ligadas.
Passo 3
Como
e
são os mesmos para os dois isótopos, as diferenças nos números de onda vêm só de
. Portanto, a razão entre números de onda para os dois isótopos satisfaz
Isto é prático na prova: para isótopos,
escala com
.
Passo 4
Fórmula da massa reduzida: para duas massas
e
,
Aqui
e
são as massas das duas espécies atômicas (em
ou em kg — a razão que usaremos não depende da unidade, contanto que as duas massas estejam na mesma unidade).
Passo 5
Calcular a massa reduzida para
(vou chamar de
) e para
(chamo de
) usando as aproximações
,
,
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Montar a razão que aparece na escala de frequências:
Simplificando:
portanto
Passo 7
Agora precisamos de
:
Este fator é o quanto a frequência (ou número de onda) de
deve ser multiplicada para obter a de
.
Passo 8
Calcular o número de onda pedido:
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos, obtemos
.
Passo 9
Dica rápida para a prova: sempre que trocarem um isótopo numa molécula diatômica, use
. Calcule
com a fórmula
e faça a razão entre as massas reduzidas — é muito mais rápido que recalcular constantes de força ou converter unidades.