(O número de pessoas N, em centenas, num colégio comunitário local que ouviram o boato $$
N(t)=\frac{84}{1+2799 e^{-t}}$$
Quanto tempo falta para que 4200 pessoas tenham ouvido o boato?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o número de pessoas, N(t), que ouviram um boato em um colégio é dado pela função
Queremos descobrir quanto tempo falta para que 4200 pessoas tenham ouvido o boato. Isso envolve um pouco de álgebra e o uso de logaritmos para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as unidades aqui. A função N(t) está em centenas de pessoas, ou seja, cada unidade de N(t) representa 100 pessoas. Então, 4200 pessoas correspondem a:

Passo 3

Agora, vamos substituir N(t) por 42 na equação original:
Nosso objetivo é encontrar o valor de t que satisfaz essa igualdade.

Passo 4

Vamos resolver a equação passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 5

Distribuindo o 42:

Passo 6

Subtraímos 42 de ambos os lados para isolar o termo com e^(-t):

Passo 7

Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 8

Para resolver para t, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Lembrando que :

Passo 9

Simplificando a expressão:

Passo 10

Calculando o valor numérico:

Resposta

Faltam aproximadamente 7,94 unidades de tempo para que 4200 pessoas tenham ouvido o boato.

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