Verifique se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique ou demonstre. Caso contrário, forneça um contra-exemplo que mostre que é falsa.
(2,0 pontos) Se v é ortogonal a w1 e a w2, então v é ortogonal ao vetor w=alpha1 w1+alpha2 w2, com alpha1, alpha2 in R.
v cdot w1=0 e v cdot w2=0 therefore v cdot a w3=0 e v cdot a wv=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, sempre que vec v é ortogonal a w1 e a w2, então vec v também é ortogonal a qualquer combinação linear
w = alpha1,w1 + alpha2,w2,
com alpha1,alpha2inR. O conteúdo-chave aqui é a bilinearidade do produto interno (ou produto escalar).

Passo 2

Lembrando as propriedades do produto interno em R^n:
vec vcdot(u + w) ;=;vec vcdot u ;+;vec vcdot w, vec vcdot(alpha,u);=;alpha,(vec vcdot u)

Passo 3

Aplicando essas propriedades ao vetor
w = alpha1,w1 + alpha2,w2, temos
vec vcdot w =vec vcdotl(alpha1,w1 + alpha2,w2r) =alpha1,(vec vcdotw1) +alpha2,(vec vcdotw2)
Como dado vec vcdotw1=0 e vec vcdotw2=0, segue
vec vcdot w =alpha1cdot 0 + alpha2cdot 0 =0

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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