(4,0 pontos) Sejam A(0 ; 0 ; 0), B(3, raiz5, 2) e C(-1, raiz5, 2) vértices de um triângulo, calcule o pé da altura relativa ao vértice A.

Passo 1

O enunciado fornece os vértices do triângulo em R^3: A(0,0,0), B(3,raiz5,2) e C(-1,raiz5,2). Queremos encontrar o pé da altura relativa a A no lado BC. Para isso, vamos usar projeção ortogonal de A na reta BC.

Passo 2

Calcular o vetor direção de BC:
BC = C - B = (-1-3,,raiz5-raiz5,,2-2) = (-4,,0,,0)

Passo 3

Parametrizar a reta BC como
L(t) = B + t,BC
O pé da perpendicular H satisfaz (H - A)perp BC, ou seja
l(L(t) - Ar)cdot BC = 0

Passo 4

Como A é a origem, o produto escalar fica
l(B + t,BCr)cdot BC = 0
Calculamos
B cdot BC = (3,raiz5,2)cdot(-4,0,0) = -12, BCcdot BC = (-4)^2 = 16,
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t = -Bcdot BCBCcdot BC = 1216 = 34

Passo 5

Substituindo t=tfrac34 em L(t), temos
H = (3,raiz5,2) + 34(-4,0,0) = (3-3,raiz5,2) = (0,raiz5,2)

Resposta

O pé da altura relativa a A é H(0,raiz5,2).

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