Um número possui 4 algarismos distintos e é escrito da seguinte forma:
abcd. A soma desses 4 algarismos é igual a 16. Considere que a soma dos três primeiros algarismos é igual ao algarismo da unidade e que o algarismo do milhar é igual à soma dos algarismos da centena e da dezena. Determine o produto dos algarismos da dezena e da centena.
a) 4
b) 3
c) 2
a) 4
b) 3
c) 2
Passo 1
O enunciado fornece um número de quatro algarismos distintos escrito como
. As informações dadas são:
- A soma dos quatro algarismos é
. - A soma dos três primeiros algarismos é igual ao algarismo da unidade:
. - O algarismo do milhar é igual à soma dos algarismos da centena e da dezena:
.
O que a questão pede: determinar o produto dos algarismos da dezena e da centena, ou seja, calcular
. As alternativas são: a) 4, b) 3, c) 2.
Passo 2
Usar a relação
dentro da soma total
. Substituindo
obtemos:
Isso simplifica para
Dividindo por
,
Como
, segue que
Passo 3
Agora usar a relação
. Substituindo essa expressão em
dá:
Ou seja,
Dividindo por
,
E como
, temos
Passo 4
Temos então os valores/parâmetros parciais:
,
e
. Precisamos escolher
e
dígitos (inteiros entre
e
), distintos entre si e distintos de
e de
.
Listando pares
inteiros não negativos com soma
:
-
: rejeitado porque (repetição do algarismo ). -
: possível (todos distintos: ). -
: rejeitado porque e seriam iguais (algarismos devem ser distintos). -
: possível (é a permutação de ). -
: rejeitado porque repete de .
Portanto as únicas possibilidades válidas são
ou
.
Passo 5
Calcular o produto
para as possibilidades válidas:
- Se
então . - Se
então .
Em ambos os casos o produto é
.
Resposta
b)