Um número possui 4 algarismos distintos e é escrito da seguinte forma: \mathrm{N}= abcd. A soma desses 4 algarismos é igual a 16. Considere que a soma dos três primeiros algarismos é igual ao algarismo da unidade e que o algarismo do milhar é igual à soma dos algarismos da centena e da dezena. Determine o produto dos algarismos da dezena e da centena.
a) 4
b) 3
c) 2

Passo 1

O enunciado fornece um número de quatro algarismos distintos escrito como N = abcd. As informações dadas são:
  • A soma dos quatro algarismos é a+b+c+d=16.
  • A soma dos três primeiros algarismos é igual ao algarismo da unidade: a+b+c=d.
  • O algarismo do milhar é igual à soma dos algarismos da centena e da dezena: a=b+c.
O que a questão pede: determinar o produto dos algarismos da dezena e da centena, ou seja, calcular b\cdot c. As alternativas são: a) 4, b) 3, c) 2.

Passo 2

Usar a relação a+b+c=d dentro da soma total a+b+c+d=16. Substituindo d obtemos:
a+b+c+(a+b+c)=16.
Isso simplifica para
2(a+b+c)=16.
Dividindo por 2,
a+b+c=8.
Como d=a+b+c, segue que
d=8.

Passo 3

Agora usar a relação a=b+c. Substituindo essa expressão em a+b+c=8 dá:
(b+c)+b+c=8.
Ou seja,
2b+2c=8.
Dividindo por 2,
b+c=4.
E como a=b+c, temos
a=4.

Passo 4

Temos então os valores/parâmetros parciais: a=4, d=8 e b+c=4. Precisamos escolher b e c dígitos (inteiros entre 0 e 9), distintos entre si e distintos de a e de d.
Listando pares (b,c) inteiros não negativos com soma 4:
  • (0,4): rejeitado porque a=4 (repetição do algarismo 4).
  • (1,3): possível (todos distintos: 1,3,4,8).
  • (2,2): rejeitado porque b e c seriam iguais (algarismos devem ser distintos).
  • (3,1): possível (é a permutação de (1,3)).
  • (4,0): rejeitado porque repete 4 de a.
Portanto as únicas possibilidades válidas são (b,c)=(1,3) ou (3,1).

Passo 5

Calcular o produto b\cdot c para as possibilidades válidas:
  • Se (b,c)=(1,3) então b\cdot c=1\cdot3=3.
  • Se (b,c)=(3,1) então b\cdot c=3\cdot1=3.
Em ambos os casos o produto é 3.

Resposta

b) 3

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