Um número de quatro algarismos é formado pelos algarismos
e 7 , sem repetição. Quantos desses números são maiores que 5000 ?
Passo 1
O enunciado diz que vamos formar números de quatro algarismos usando os algarismos
sem repetição. A pergunta é: quantos desses números são maiores que
?
Informações relevantes:
- Conjunto de dígitos disponíveis:
. - Não é permitida repetição de dígitos.
- Precisamos contar apenas os números de 4 algarismos formados com esses dígitos que satisfazem a condição de serem maiores que
.
Passo 2
Entender a condição "maior que
" em termos do primeiro dígito (o dígito das unidades de milhar). Um número de quatro algarismos tem forma
, onde
é o algarismo das unidades de milhar. Se
então o número será pelo menos
. Com os dígitos disponíveis só podemos ter
. Portanto:
- Se
ou , o número é menor que . - Se
ou , o número é maior que .
Observação importante: quando
o número vale
(valor dos outros três dígitos), e como os outros dígitos são positivos (não há zeros) o resultado é estritamente maior que
. Logo, todas as escolhas com
ou
são válidas.
Passo 3
Agora contabilizar quantas opções existem para os dígitos restantes quando
é fixo. Explicando o princípio de contagem usado: se temos
posições a preencher com
elementos distintos sem repetição, o número de maneiras é o fatorial
. O fatorial é definido por
por exemplo
No nosso caso, depois de escolher
restam
dígitos diferentes para preencher as
posições
, portanto o número de permutações possíveis dos três dígitos restantes é
Passo 4
Contagem final: as escolhas válidas para
que garantem
são
ou
. Isso dá
opções para
. Para cada escolha de
há
maneiras de ordenar os outros três algarismos. Logo o total é
Passo 5
Para ficar bem concreto — e te dar confiança na resposta — aqui estão todos os
números (mostrados agrupados por
):
Com
:
Com
: