Um número de quatro algarismos é formado pelos algarismos 1,3,5 e 7 , sem repetição. Quantos desses números são maiores que 5000 ?

Passo 1

O enunciado diz que vamos formar números de quatro algarismos usando os algarismos 1,3,5,7 sem repetição. A pergunta é: quantos desses números são maiores que 5000?
Informações relevantes:
  • Conjunto de dígitos disponíveis: \{1,3,5,7\}.
  • Não é permitida repetição de dígitos.
  • Precisamos contar apenas os números de 4 algarismos formados com esses dígitos que satisfazem a condição de serem maiores que 5000.

Passo 2

Entender a condição "maior que 5000" em termos do primeiro dígito (o dígito das unidades de milhar). Um número de quatro algarismos tem forma d_1d_2d_3d_4, onde d_1 é o algarismo das unidades de milhar. Se d_1\ge5 então o número será pelo menos 5000. Com os dígitos disponíveis só podemos ter d_1\in\{1,3,5,7\}. Portanto:
  • Se d_1=1 ou d_1=3, o número é menor que 5000.
  • Se d_1=5 ou d_1=7, o número é maior que 5000.
Observação importante: quando d_1=5 o número vale 5000 + (valor dos outros três dígitos), e como os outros dígitos são positivos (não há zeros) o resultado é estritamente maior que 5000. Logo, todas as escolhas com d_1=5 ou d_1=7 são válidas.

Passo 3

Agora contabilizar quantas opções existem para os dígitos restantes quando d_1 é fixo. Explicando o princípio de contagem usado: se temos k posições a preencher com k elementos distintos sem repetição, o número de maneiras é o fatorial k!. O fatorial é definido por
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 1,
por exemplo
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
No nosso caso, depois de escolher d_1 restam 3 dígitos diferentes para preencher as 3 posições d_2,d_3,d_4, portanto o número de permutações possíveis dos três dígitos restantes é
3! = 6.

Passo 4

Contagem final: as escolhas válidas para d_1 que garantem >5000 são d_1=5 ou d_1=7. Isso dá 2 opções para d_1. Para cada escolha de d_1 3! maneiras de ordenar os outros três algarismos. Logo o total é
2\cdot 3! = 2\cdot 6 = 12.

Passo 5

Para ficar bem concreto — e te dar confiança na resposta — aqui estão todos os 12 números (mostrados agrupados por d_1):
Com d_1=5:
5137,\\\ 5173,\\\ 5317,\\\ 5371,\\\ 5713,\\\ 5731
Com d_1=7:
7135,\\\ 7153,\\\ 7315,\\\ 7351,\\\ 7513,\\\ 7531

Resposta

12

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