Em um número de quatro algarismos, o primeiro algarismo é o dobro do segundo, e os outros dois são iguais a 1 . Qual é esse número?

Passo 1

O enunciado dá um número de quatro algarismos e diz duas coisas: (1) o primeiro algarismo é o dobro do segundo; (2) os outros dois algarismos são iguais a 1. A pergunta é: qual é esse número?
Informações explícitas do enunciado:
  • É um número de quatro algarismos (logo o primeiro algarismo não pode ser 0).
  • Sejam os algarismos, na ordem: primeiro, segundo, terceiro e quarto.
  • Condições: primeiro = dobro do segundo; terceiro = 1; quarto = 1.

Passo 2

Vamos nomear os algarismos para ficar claro. Seja:
  • a o primeiro algarismo,
  • b o segundo algarismo,
  • c o terceiro algarismo,
  • d o quarto algarismo.
Um número de quatro algarismos representado por esses dígitos vale 1000a + 100b + 10c + d. Aqui cada uma das variáveis a,b,c,d é um dígito inteiro entre 0 e 9, e como é número de quatro algarismos temos a\neq 0.

Passo 3

Traduzindo as condições do enunciado em equações:
  • “o primeiro algarismo é o dobro do segundo” vira a = 2b.
  • "os outros dois são iguais a 1" significa c = 1 e d = 1.
Então temos o sistema de restrições:
a = 2b,\qquad c=1,\qquad d=1,
com a,b\in\{0,1,2,\dots,9\} e a\neq 0.

Passo 4

A partir de a=2b e sabendo que a\le 9 (pois é dígito), obtemos 2b \le 9. Como b é inteiro não-negativo isso dá b \le 4. Assim as opções possíveis para b são b\in\{0,1,2,3,4\}.
Mas b=0 implicaria a=0, o que violaria a condição de ser número de quatro algarismos (primeiro algarismo não pode ser 0). Então devemos excluir b=0. Logo
b\in\{1,2,3,4\}.

Passo 5

Agora calculamos a para cada b permitido e montamos o número 1000a+100b+10\cdot 1 + 1, que na notação de dígitos fica simplesmente ab11.
  • Se b=1 então a=2b=2. O número é 2111.
  • Se b=2 então a=2b=4. O número é 4211.
  • Se b=3 então a=2b=6. O número é 6311.
  • Se b=4 então a=2b=8. O número é 8411.
Mostrando os cálculos em forma de número:
2111,\quad 4211,\quad 6311,\quad 8411.

Passo 6

Verificação final: todos os números acima têm quatro algarismos (primeiro algarismo diferente de 0), satisfazem a=2b e têm os dois últimos algarismos iguais a 1. Portanto são todas soluções válidas do problema.

Resposta

2111
4211
6311
8411

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