Em um número de quatro algarismos, o primeiro algarismo é o dobro do segundo, e os outros dois são iguais a 1 . Qual é esse número?
Passo 1
O enunciado dá um número de quatro algarismos e diz duas coisas: (1) o primeiro algarismo é o dobro do segundo; (2) os outros dois algarismos são iguais a
. A pergunta é: qual é esse número?
Informações explícitas do enunciado:
Informações explícitas do enunciado:
- É um número de quatro algarismos (logo o primeiro algarismo não pode ser
). - Sejam os algarismos, na ordem: primeiro, segundo, terceiro e quarto.
- Condições: primeiro = dobro do segundo; terceiro =
; quarto = .
Passo 2
Vamos nomear os algarismos para ficar claro. Seja:
-
o primeiro algarismo, -
o segundo algarismo, -
o terceiro algarismo, -
o quarto algarismo.
Um número de quatro algarismos representado por esses dígitos vale
. Aqui cada uma das variáveis
é um dígito inteiro entre
e
, e como é número de quatro algarismos temos
.
Passo 3
Traduzindo as condições do enunciado em equações:
- “o primeiro algarismo é o dobro do segundo” vira
. - "os outros dois são iguais a
" significa e .
Então temos o sistema de restrições:
com
e
.
Passo 4
A partir de
e sabendo que
(pois é dígito), obtemos
. Como
é inteiro não-negativo isso dá
. Assim as opções possíveis para
são
.
Mas
implicaria
, o que violaria a condição de ser número de quatro algarismos (primeiro algarismo não pode ser
). Então devemos excluir
. Logo
Passo 5
Agora calculamos
para cada
permitido e montamos o número
, que na notação de dígitos fica simplesmente
.
- Se
então . O número é . - Se
então . O número é . - Se
então . O número é . - Se
então . O número é .
Mostrando os cálculos em forma de número:
Passo 6
Verificação final: todos os números acima têm quatro algarismos (primeiro algarismo diferente de
), satisfazem
e têm os dois últimos algarismos iguais a
. Portanto são todas soluções válidas do problema.