Questão 5. Para transportar água a 30 m de altura de um reservatório inferior para um reservatório superior, utiliza-se uma bomba. A tubulação tem 100 m de comprimento, 8 cm de diâmetro, fator de atrito 0,025 , e contém uma válvula de retenção (
) e três cotovelos de
cada). Se a vazão desejada é de
, qual a altura manométrica que a bomba deve fornecer ao sistema?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados fornecidos:
- Altura entre reservatórios:
. - Comprimento da tubulação:
. - Diâmetro da tubulação:
. - Fator de atrito (Darcy):
. - Válvula de retenção:
. - Três cotovelos de
com cada (logo total dos cotovelos: ). - Vazão desejada:
.
O que o enunciado pede:
- A altura manométrica que a bomba deve fornecer ao sistema (ou seja, a cabeça total que a bomba deve vencer), incluindo a elevação mais as perdas por atrito (major) e por acessórios (minor).
Passo 2
Converter unidades e calcular a velocidade média no tubo.
Fórmula para a área da seção transversal de um tubo:
Onde:
-
é a área ( ), -
é o diâmetro ( ).
Calculemos:
Velocidade média
a partir da vazão:
Onde:
-
é a vazão ( ).
Substituindo:
Explicação didática leve: a velocidade é só quanto de água passa por unidade de área — mais vazão ou menor área = velocidade maior.
Passo 3
Calcular a cabeça cinética (termo
), que será usada nas perdas por atrito e nas perdas locais.
Fórmula:
Onde:
-
é a velocidade ( ), -
é a gravidade ( ).
Calculemos:
Interpretação:
é a cabeça equivalente à energia cinética por unidade de peso da água. Serve de base para calcular perdas que são proporcionais a essa energia.
Passo 4
Calcular a perda por atrito ao longo do comprimento (perda “major”) usando a equação de Darcy–Weisbach.
Fórmula Darcy–Weisbach:
Onde:
-
é a perda por atrito ( ), -
é o fator de atrito (adimensional), -
é o comprimento da tubulação ( ), -
é o diâmetro ( ), -
é a cabeça cinética já calculada ( ).
Calculemos
:
Então:
Didática: essa perda é geralmente a maior em linhas compridas — depende diretamente de quanto tubo há (
) e do fator
que resume rugosidade e regime de escoamento.
Passo 5
Calcular as perdas locais (minor losses) causadas pela válvula e cotovelos.
Perdas locais:
Onde
é a soma dos coeficientes
dos acessórios.
Somando os
:
Então:
Explicação: cada peça (válvula, cotovelo) causa uma perda equivalente a uma fração da energia cinética; somam-se porque a energia perdida em cada uma é independente.
Passo 6
Somar todos os termos para obter a altura manométrica total que a bomba deve fornecer.
A equação de energia simplificada entre reservatórios (assumindo superfície livre em ambos e velocidades negligenciáveis nas superfícies) reduz-se a:
Onde:
-
é a diferença de nível entre reservatórios ( ), -
é a perda por atrito (calculada), -
é a perda local (calculada).
Substituindo os valores:
Observação didática: poderia haver também termo cinético
entre as superfícies se as superfícies não forem grandes (reservatórios grandes implicam velocidades praticamente zero nas superfícies), por isso o termo cinético das superfícies foi desprezado — isto é a prática usual quando se bombeia entre reservatórios abertos.
Passo 7
Verificação rápida de ordem de grandeza e unidades: todas as parcelas estão em metros (cabeça hidráulica), soma razoável: a maior contribuição é da perda por atrito (aprox
), seguida da elevação e das perdas locais. Resultado coerente.
Resposta
145,12