Questão 5. Para transportar água a 30 m de altura de um reservatório inferior para um reservatório superior, utiliza-se uma bomba. A tubulação tem 100 m de comprimento, 8 cm de diâmetro, fator de atrito 0,025 , e contém uma válvula de retenção ( K=2,0 ) e três cotovelos de 90^{\circ}(K=0,8 cada). Se a vazão desejada é de 40 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, qual a altura manométrica que a bomba deve fornecer ao sistema?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Altura entre reservatórios: \;30\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação: \;100\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da tubulação: \;8\\ \mathrm{cm} = 0,08\\ \mathrm{m}.
  • Fator de atrito (Darcy): \;f=0,025.
  • Válvula de retenção: K=2{,}0.
  • Três cotovelos de 90^\circ com K=0{,}8 cada (logo total dos cotovelos: 3\times0{,}8).
  • Vazão desejada: \;40\\ \mathrm{L/s} = 0,04\\ \mathrm{m^3/s}.
O que o enunciado pede:
  • A altura manométrica que a bomba deve fornecer ao sistema (ou seja, a cabeça total que a bomba deve vencer), incluindo a elevação mais as perdas por atrito (major) e por acessórios (minor).

Passo 2

Converter unidades e calcular a velocidade média no tubo.
Fórmula para a área da seção transversal de um tubo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}
Onde:
  • A é a área ( \mathrm{m^2}),
  • D é o diâmetro ( \mathrm{m}).
Calculemos:
A=\frac{\pi (0,08)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0016\approx0{,}00502655\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média v a partir da vazão:
v=\frac{Q}{A}
Onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}/s}).
Substituindo:
v=\frac{0{,}04}{0{,}00502655}\approx7{,}9577\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática leve: a velocidade é só quanto de água passa por unidade de área — mais vazão ou menor área = velocidade maior.

Passo 3

Calcular a cabeça cinética (termo \dfrac{v^{2}}{2g}), que será usada nas perdas por atrito e nas perdas locais.
Fórmula:
\frac{v^{2}}{2g}
Onde:
  • v é a velocidade ( \mathrm{m/s}),
  • g é a gravidade ( \;9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Calculemos:
v^{2}\approx(7{,}9577)^{2}\approx63{,}328\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{63{,}328}{2\cdot9{,}81}=\frac{63{,}328}{19{,}62}\approx3{,}2287\\ \mathrm{m}.
Interpretação: \dfrac{v^{2}}{2g} é a cabeça equivalente à energia cinética por unidade de peso da água. Serve de base para calcular perdas que são proporcionais a essa energia.

Passo 4

Calcular a perda por atrito ao longo do comprimento (perda “major”) usando a equação de Darcy–Weisbach.
Fórmula Darcy–Weisbach:
h_{f}=f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v^{2}}{2g}
Onde:
  • h_{f} é a perda por atrito ( \mathrm{m}),
  • f é o fator de atrito (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação ( \mathrm{m}),
  • D é o diâmetro ( \mathrm{m}),
  • \dfrac{v^{2}}{2g} é a cabeça cinética já calculada ( \mathrm{m}).
Calculemos L/D:
\frac{L}{D}=\frac{100}{0{,}08}=1250.
Então:
h_{f}=0{,}025\cdot1250\cdot3{,}2287=31{,}25\cdot3{,}2287\approx100{,}90\\ \mathrm{m}.
Didática: essa perda é geralmente a maior em linhas compridas — depende diretamente de quanto tubo há ( L/D) e do fator f que resume rugosidade e regime de escoamento.

Passo 5

Calcular as perdas locais (minor losses) causadas pela válvula e cotovelos.
Perdas locais:
h_{m}=K_{\text{total}}\cdot\frac{v^{2}}{2g}
Onde K_{\text{total}} é a soma dos coeficientes K dos acessórios.
Somando os K:
K_{\text{total}}=2{,}0 + 3\times0{,}8 = 2{,}0 + 2{,}4 = 4{,}4.
Então:
h_{m}=4{,}4\cdot3{,}2287\approx14{,}22\\ \mathrm{m}.
Explicação: cada peça (válvula, cotovelo) causa uma perda equivalente a uma fração da energia cinética; somam-se porque a energia perdida em cada uma é independente.

Passo 6

Somar todos os termos para obter a altura manométrica total que a bomba deve fornecer.
A equação de energia simplificada entre reservatórios (assumindo superfície livre em ambos e velocidades negligenciáveis nas superfícies) reduz-se a:
H_{\mathrm{bomba}} = z + h_{f} + h_{m}
Onde:
  • z é a diferença de nível entre reservatórios ( 30\\ \mathrm{m}),
  • h_{f} é a perda por atrito (calculada),
  • h_{m} é a perda local (calculada).
Substituindo os valores:
H_{\mathrm{bomba}}=30 + 100{,}90 + 14{,}22 \approx145{,}12\\ \mathrm{m}.
Observação didática: poderia haver também termo cinético \dfrac{v^{2}}{2g} entre as superfícies se as superfícies não forem grandes (reservatórios grandes implicam velocidades praticamente zero nas superfícies), por isso o termo cinético das superfícies foi desprezado — isto é a prática usual quando se bombeia entre reservatórios abertos.

Passo 7

Verificação rápida de ordem de grandeza e unidades: todas as parcelas estão em metros (cabeça hidráulica), soma razoável: a maior contribuição é da perda por atrito (aprox 100{,}9\\ \mathrm{m}), seguida da elevação e das perdas locais. Resultado coerente.

Resposta

145,12 \mathrm{m}

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