O número de raízes reais da equação a seguir (x^2-2 x-13) / 5=(x^2-2 x-7)^1 / 2 é:
a) 0

Passo 1

O enunciado pede o número de raízes reais da equação irracional
x^2 - 2x - 135 = raizx^2 - 2x - 7
Estamos estudando equações que misturam polinômio e raiz quadrada, então vamos precisar definir o domínio, isolar o radical e cuidar de possíveis raízes extranhas ao elevar ao quadrado.

Passo 2

Para que o lado direito raizx^2 - 2x - 7 faça sentido sobre os Reais, precisamos ter:
x^2 - 2x - 7 >= 0
Resolvendo essa inequação quadrática, obtemos:
x <= 1 - raiz8ou x >= 1 + raiz8

Passo 3

Isolamos o radical e elevamos ao quadrado para eliminar a raiz. A equação original é equivalente (sob o cuidado do domínio) a:
x^2 - 2x - 13 = 5,raizx^2 - 2x - 7
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado:
(x^2 - 2x - 13)^2 = 25,(x^2 - 2x - 7)

Passo 4

Para simplificar, note que A = x^2 - 2x. A equação fica:
$$(A - 13)^2 = 25,(A - 7).
(A - 13)^2 = 25,(A - 7) A^2 - 26A + 169 = 25A - 175$$
A^2 - 26A + 169 = 25A - 175

Passo 5

Resolvendo a quadrática em A: o discriminante é De. Logo
A = 51 pm 352
que dá
A1 = 43, A2 = 8

Passo 6

Agora voltamos a x. Para A=43 temos
x^2 - 2x - 43 = 0
cuja solução é
x = 1 pm 2raiz11
Para A=8 temos
x^2 - 2x - 8 = 0
cuja solução é
x = 4ou x = -2

Passo 7

Quando elevamos ao quadrado, podem surgir raízes extranhas. Precisamos garantir que o valor isolado satisfaz
A - 135 = raizA - 7 >= 0,
ou seja A - 13 >= 0, isto é A >= 13. Dessa forma descartamos A=8 e mantemos apenas A=43.

Passo 8

As duas raízes vindas de A=43 também satisfazem o domínio inicial x <= 1 - raiz8 ou x >= 1 + raiz8. Logo temos exatamente duas soluções reais válidas.

Resposta

2

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