Dê a representação de f como uma série de Taylor em torno do ponto x=0.
f(x)=ln (1+x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é representar a função $ f(x) = \ln(1 + x) $ como uma série de Taylor em torno de $ x = 0 $. Série de Taylor é uma maneira de escrever funções como uma soma infinita de termos, usando as derivadas da função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ f(x) $ e aplicar a fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ x = a $:
f(x)
No nosso caso, $ a = 0 $, então a fórmula fica:
x = a

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(0) $:
f(0)
Então, o primeiro termo da série é zero.

Passo 4

Vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $:
f(x)
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
f'(x) = ddx ln(1 + x) = 11 + x
Portanto, o segundo termo da série é $ 1 \cdot x = x $.

Passo 5

Agora, a segunda derivada:
f''(x) = ddx ( 11 + x ) = -1(1 + x)^2
Avaliando em $ x = 0 $:
x = 0
Então, o terceiro termo da série é $ \frac{-1}{2!}x^2 = -\frac{1}{2}x^2 $.

Passo 6

A terceira derivada:
f'''(x) = ddx ( -1(1 + x)^2 ) = 2(1 + x)^3
Avaliando em $ x = 0 $:
x = 0
Então, o quarto termo da série é $ \frac{2}{3!}x^3 = \frac{2}{6}x^3 = \frac{1}{3}x^3 $.

Passo 7

Observando o padrão, cada derivada $ f^{(n)}(x) $ em $ x = 0 $ gera um termo da forma $ (-1)^{n+1} \frac{1}{n} x^n $.
Então, a série de Taylor de $ \ln(1 + x) $ em torno de $ x = 0 $ é:
f^(n)(x)

Resposta

A representação de $ f(x) = \ln(1 + x) $ como uma série de Taylor em torno de $ x = 0 $ é:
f(x) = ln(1 + x)

Exercícios relacionados