Dê a representação de
como uma série de Taylor em torno do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é representar a função $ f(x) = \ln(1 + x) $ como uma série de Taylor em torno de $ x = 0 $. Série de Taylor é uma maneira de escrever funções como uma soma infinita de termos, usando as derivadas da função em um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ f(x) $ e aplicar a fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ x = a $:
No nosso caso, $ a = 0 $, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ f(0) $:
Então, o primeiro termo da série é zero.
Passo 4
Vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $:
Agora, avaliamos em $ x = 0 $:
Portanto, o segundo termo da série é $ 1 \cdot x = x $.
Passo 5
Agora, a segunda derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
Então, o terceiro termo da série é $ \frac{-1}{2!}x^2 = -\frac{1}{2}x^2 $.
Passo 6
A terceira derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
Então, o quarto termo da série é $ \frac{2}{3!}x^3 = \frac{2}{6}x^3 = \frac{1}{3}x^3 $.
Passo 7
Observando o padrão, cada derivada $ f^{(n)}(x) $ em $ x = 0 $ gera um termo da forma $ (-1)^{n+1} \frac{1}{n} x^n $.
Então, a série de Taylor de $ \ln(1 + x) $ em torno de $ x = 0 $ é:
Resposta
A representação de $ f(x) = \ln(1 + x) $ como uma série de Taylor em torno de $ x = 0 $ é: