Seja c a curva no plano x y dada pela equação x^2+y^2-2 x+raizx^2+y^2=0. Seja D a região do plano x y delimitada por c.
Calcule ^1 a área da região D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva no plano xy definida por e precisa encontrar a área da região D que essa curva delimita. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especialmente coordenadas polares e integração para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da curva usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, a relação entre x, y e r (raio) e θ (ângulo) é dada por:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, .

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação da curva:
x^2 + y^2 - 2x + raizx^2 + y^2 = 0 Rightarrow r^2 - 2r cos theta + r = 0
Simplificando a equação:
r^2 + r - 2r cos theta = 0 Rightarrow r^2 + r(1 - 2 cos theta) = 0
Fatorando r:
r(r + 1 - 2 cos theta) = 0
Como r = 0 é apenas o ponto de origem, descartamos essa solução e ficamos com:
r = 2 cos theta - 1

Passo 4

Agora, precisamos determinar para quais valores de θ a expressão 2 cos theta - 1 >= 0 Rightarrow cos theta >= 12 é válida, ou seja, onde r é não negativo:
Sabemos que quando .

Passo 5

A área em coordenadas polares é dada por:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Aqui, A = 12 integral-pi3^pi3 (2 cos theta - 1)^2 , dtheta e . Substituindo r na integral:

Passo 6

Vamos expandir (2 cos theta - 1)^2 = 4 cos^2 theta - 4 cos theta + 1 :
A = 12 integral-pi3^pi3 (4 cos^2 theta - 4 cos theta + 1) , dtheta
Agora, a integral fica:
A = 12 [ 4 cdot theta2 + 4 cdot sin theta cos theta2 + theta ]-pi3^pi3
Integramos termo a termo:
A = 12 [ 2 theta + 2 sin theta cos theta + theta ]-pi3^pi3 = 12 [ 3theta + 2 sin theta cos theta ]-pi3^pi3
Simplificando e calculando os valores nos limites:
A = 12 [ 3 cdot pi3 + 2 cdot raiz32 cdot 12 - ( 3 cdot (-pi3) + 2 cdot -raiz32 cdot 12 ) ] = 12 [ pi + raiz32 + pi + raiz32 ] = 12 (2pi + raiz3) = pi + raiz32
Substituindo os limites e calculando:

Resposta

A área da região D é unidades de área.

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