Seja
a curva no plano
dada pela equação
. Seja
a região do plano
delimitada por
.
Calcule
a área da região
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva no plano xy definida por
e precisa encontrar a área da região D que essa curva delimita. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especialmente coordenadas polares e integração para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da curva usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, a relação entre x, y e r (raio) e θ (ângulo) é dada por:
Além disso,
.
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação da curva:
Simplificando a equação:
Fatorando r:
Como r = 0 é apenas o ponto de origem, descartamos essa solução e ficamos com:
Passo 4
Agora, precisamos determinar para quais valores de θ a expressão
é válida, ou seja, onde r é não negativo:
Sabemos que
quando
.
Passo 5
A área em coordenadas polares é dada por:
Aqui,
e
. Substituindo r na integral:
Passo 6
Vamos expandir
:
Agora, a integral fica:
Integramos termo a termo:
Simplificando e calculando os valores nos limites:
Substituindo os limites e calculando:
Resposta
A área da região D é
unidades de área.