Para um número real alpha considere a matriz Ralpha=[cccos alpha & -sen alpha sen alpha & cos alpha].
(b) Mostre que R-alpha=Ralpha^T

Passo 1

O enunciado define a matriz de rotação
Ralpha = cosalpha & -senalpha [6pt] senalpha & cosalpha
e pede para mostrar que
R-alpha = Ralpha^T
Para isso vamos usar (i) as identidades trigonométricas cos(-alpha)=cosalpha e sen(-alpha)=-senalpha, e (ii) a definição de transposta de uma matriz.]

Passo 2

Escrevemos explicitamente R-alpha trocando alpha por -alpha:
R-alpha = cos(-alpha) & -sen(-alpha) [6pt] sen(-alpha) & cos(-alpha)
Usando as identidades trigonométricas, isso vira
R-alpha = cosalpha & -l(-senalphar) [6pt] -senalpha & cosalpha = cosalpha & senalpha [4pt] -senalpha & cosalpha ]

Passo 3

Agora calculamos a transposta de Ralpha. Pela definição de matriz transposta, trocamos linhas por colunas em
Ralpha = cosalpha & -senalpha [6pt] senalpha & cosalpha ,
ficando
Ralpha^T = cosalpha & senalpha [4pt] -senalpha & cosalpha ]

Passo 4

Comparando as duas matrizes obtidas:
R-alpha = cosalpha & senalpha [4pt] -senalpha & cosalpha e Ralpha^T = cosalpha & senalpha [4pt] -senalpha & cosalpha ,
vemos que todos os elementos coincidem, logo
R-alpha = Ralpha^T ]

Resposta

R-alpha = Ralpha^T

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