Seja C=(a, 0,1),(0,1,0),(1,0, a) subset R^3.
(1 ponto) a) Para quais valores de a in R o conjunto C é uma base de R^3 ?
(1,5 ponto) b) Escreva os vetores de C em termos da base canônica B=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) de R^3. Para os valores de a tais que C é uma base, escreva a matriz de mudança de base B para a base C, IC B, em que C=((a, 0,1),(0,1,0),(1,0, a)). Deixe a resposta em termos de a.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
C = v1,,v2,,v3 com v1=(a,0,1),;v2=(0,1,0),;v3=(1,0,a)
em R^3 e pede:
1) para quais a estes vetores formam base de R^3;
2) escrever esses vetores em coordenadas da base canônica
,B=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), (que é trivial) e, para os a que dão base, encontrar a matriz de mudança de base de B para C, denotada IC B.
Conteúdo: teste de independência linear via determinante e construção da matriz de mudança de base entre duas bases de R^3.

Passo 2

Para vermos se C é base basta checar se v1,v2,v3 é linearmente independente, o que equivale a
det M neq 0,
onde M é a matriz cujas colunas são as coordenadas de v1,v2,v3 na base canônica.

Passo 3

Escrevendo
M = l[,v1;;v2;;v3r] = a & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & a ,
calculamos
det M = a & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & a = acdot(1cdot a - 0cdot0);-;0;+;1cdot(0cdot0-1cdot1) = a^2 - 1
Logo M é invertível se, e somente se,
a^2 - 1 neq 0 Long<=ftrightarrow a neq pm 1

Passo 4

Em coordenadas da base canônica B, por definição,
v1 = (a,0,1), v2 = (0,1,0), v3 = (1,0,a)
Portanto a matriz cujas colunas são essas coordenadas é exatamente M acima.

Passo 5

Para aneq pm1, C é base e a mudança de base de B para C, denotada IC B, é a matriz que leva coordenadas em B a coordenadas em C. Sejam xB e xC as representações de um vetor x. Temos
xB = M,xC Longrightarrow xC = M^-1,xB
e então
IC B = M^-1
Usando a fórmula do adjunto, com D=a^2-1, obtemos
M^-1 =1D a & 0 & -1 0 & D & 0 -1 & 0 & a = 1a^2-1 a & 0 & -1 0 & a^2-1 & 0 -1 & 0 & a

Resposta

a) C é base de R^3 se, e somente se,
a^2 - 1 neq 0 Long<=ftrightarrow a neq pm1
b) Em B, os vetores de C são
v1=(a,0,1), v2=(0,1,0), v3=(1,0,a),
e para aneqpm1 a matriz de mudança de base Bto C, IC B, é
IC B =1a^2-1 a & 0 & -1 0 & a^2-1 & 0 -1 & 0 & a

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