Seja .
(1 ponto) a) Para quais valores de o conjunto é uma base de ?
(1,5 ponto) b) Escreva os vetores de em termos da base canônica de . Para os valores de tais que é uma base, escreva a matriz de mudança de base para a base , em que . Deixe a resposta em termos de .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
em e pede: ) para quais estes vetores formam base de ; ) escrever esses vetores em coordenadas da base canônica , (que é trivial) e, para os que dão base, encontrar a matriz de mudança de base de para , denotada .
Conteúdo: teste de independência linear via determinante e construção da matriz de mudança de base entre duas bases de .
Passo 2
Para vermos se é base basta checar se é linearmente independente, o que equivale a
onde é a matriz cujas colunas são as coordenadas de na base canônica.
Passo 3
Escrevendo
calculamos
det M = a & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & a = acdot(1cdot a - 0cdot0);-;0;+;1cdot(0cdot0-1cdot1) = a^2 - 1
Logo M é invertível se, e somente se,
a^2 - 1 neq 0 Long<=ftrightarrow a neq pm 1
Passo 4
Em coordenadas da base canônica B, por definição,
v1 = (a,0,1), v2 = (0,1,0), v3 = (1,0,a)
Portanto a matriz cujas colunas são essas coordenadas é exatamente M acima.
Passo 5
Para aneq pm1, C é base e a mudança de base de B para C, denotada IC B, é a matriz que leva coordenadas em B a coordenadas em C. Sejam xB e xC as representações de um vetor x. Temos
xB = M,xC Longrightarrow xC = M^-1,xB
e então
IC B = M^-1
Usando a fórmula do adjunto, com D=a^2-1, obtemos
M^-1 =1D a & 0 & -1 0 & D & 0 -1 & 0 & a = 1a^2-1 a & 0 & -1 0 & a^2-1 & 0 -1 & 0 & a
Resposta
a) C é base de R^3 se, e somente se,
a^2 - 1 neq 0 Long<=ftrightarrow a neq pm1
b) Em B, os vetores de C são
v1=(a,0,1), v2=(0,1,0), v3=(1,0,a),
e para aneqpm1 a matriz de mudança de base Bto C, IC B, é