Seja W subset R^3 o subespaço vetorial gerado pelos vetores (2,0,1) e (0,1,1), ou seja, W=[(2,0,1),(0,1,1)] subset R^3.
(1 ponto) a) Determine pelo processo de Gram-Schmidt uma base ortonormal para o subespaço W.
(1,5 ponto) b) Determine o complemento ortogonal do subespaço W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço WsubsetR^3 gerado por
v1=(2,0,1), v2=(0,1,1),
e pede
  1. uma base ortonormal de W obtida por Gram–Schmidt, e
  2. o complemento ortogonal W^perp.

Passo 2

Aplicamos Gram–Schmidt em v1,v2. Primeiro definimos
u1=v1=(2,0,1),
cuja norma é
|u1|=raiz2^2+0^2+1^2=raiz5,
então
e1=u1|u1|=l(2raiz5,0,1raiz5r)

Passo 3

Agora projetamos v2 sobre u1 e subtraímos:
proju1(v2) =lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 =15(2,0,1) =(tfrac25,0,tfrac15),
pois lang<= v2,u1rang<==(0,1,1)cdot(2,0,1)=1. Logo
u2=v2-proju1(v2) =l(0,1,1r)-l(tfrac25,0,tfrac15r) =l(-tfrac25,1,tfrac45r)
A norma de u2 é
|u2|=raizl(-tfrac25r)^2+1^2+l(tfrac45r)^2 =3raiz55,
portanto
e2=u2|u2| =13raiz5,(-2,5,4)

Passo 4

Para achar W^perp resolvemos
(x,y,z)cdot(2,0,1)=0, (x,y,z)cdot(0,1,1)=0,
isto é
2x+z=0, y+z=0
Daí z=-2x e y=2x, logo um gerador de W^perp é (1,2,-2).

Resposta

Uma base ortonormal de W é
e1=l(tfrac2raiz5,0,tfrac1raiz5r), e2=13raiz5(-2,5,4)
O complemento ortogonal é
W^perp=span(1,2,-2)

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