Se o número real fixo k e a função f(x)=k x-2 é tal que f(f(1))=-3. Então calcule o valor de k.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de um parâmetro real k de modo que, para a função f(x)=k x-2, a composição f(f(1)) seja igual a -3. Vamos usar conceitos de composição de funções e resolver uma equação simples em k.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(1). Basta substituir x=1 em f(x)=k x-2:
f(1)=kcdot 1-2=k-2

Passo 3

Em seguida, fazemos a composição: aplicamos f em cima de f(1). Ou seja, substituímos x=f(1)=k-2 em f(x):
f(f(1))=f(k-2)=k,(k-2)-2=k^2-2k-2

Passo 4

Agora, impomos a condição do enunciado:
k^2-2k-2=-3
Basta resolver essa equação em k. Transpondo -3 para o lado esquerdo:
k^2-2k-2+3=0
k^2-2k+1=0
Reconhecemos uma equação quadrática que é um quadrado perfeito:
k^2-2k+1=(k-1)^2=0

Passo 5

A única solução real é k=1.

Resposta

1

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