(a) Qual número real é maior, (0,1)^0,1 ou (0,2)^0,2 ?
(b) Qual é o menor valor de chi^chi, sendo chi real e positivo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) comparar os valores (0,1)^0,1 e (0,2)^0,2;
(b) encontrar o menor valor de chi^chi para chi>0.
O conteúdo principal é estudar a função
f(x)=x^x, x>0,
usando derivadas e monotonicidade.

Passo 2

Para analisar f(x)=x^x é conveniente olhar para ln f(x):
ln f(x)=lnl(x^xr)=xln x
Derivando,
ddxl(ln f(x)r) =ddxl(xln xr) =ln x + 1
Logo, o sinal de f'(x) vem de ln x +1:
– Se ln x +1<0, isto é x<tfrac1e, então ln f decresce e f decresce.
– Se x>tfrac1e, então ln f cresce e f cresce.

Passo 3

Como 0,1<0,2<tfrac1e, estamos na região em que f é decrescente. Portanto,
0,1<0,2<tfrac1e Longrightarrow (0,1)^0,1> (0,2)^0,2

Passo 4

O único ponto crítico é dado por ln x +1=0, ou seja
x=1e
Nesse ponto f passa de decrescente para crescente, logo é mínimo global. O valor mínimo é
fl(tfrac1er) =l(tfrac1er)^1/e

Resposta

(a) (0,1)^0,1 é maior que (0,2)^0,2.
(b) O menor valor de chi^chi para chi>0 é l(tfrac1er)^1/e.

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