Esboce o gráfico de f(x)=e^1 / x, analisando a função f através de derivadas e cálculos de limites apropriados.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=e^1/x
para isso vamos usar cálculos de limites (para achar assíntotas), derivadas (para monotonicidade) e segunda derivada (para concavidade e ponto de inflexão).

Passo 2

Definimos primeiro o domínio e estudamos os limites nas fronteiras:
O domínio é xneq0.
Para xto0^+, 1/xto+infty e
limxto0^+f(x)=limxto0^+e^1/x=+infty,
ou seja, há assíntota vertical em x=0 no ramo à direita.
Para xto0^-, 1/xto-infty e
limxto0^-f(x)=limxto0^-e^1/x=0
Para xto+infty ou xto-infty, 1/xto0 e
limxtopminftyf(x)=e^0=1,
portanto existe assíntota horizontal y=1 em ambos os lados.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada para ver monotonicidade:
f'(x)=ddxl(e^1/xr) =e^1/xcdotddxl(1/xr) =e^1/xcdotl(-tfrac1x^2r) =-e^1/xx^2
Como e^1/x>0 e x^2>0 para xneq0, temos f'(x)<0 em todo o domínio.
Logo, f é estritamente decrescente em (-infty,0) e em (0,+infty).

Passo 4

Para estudar concavidade e pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada:
f''(x) =ddxl(-tfrace^1/xx^2r) =-l(e^1/xcdot(-tfrac1x^2)r)1x^2 -e^1/xcdot(-2)x^3 =e^1/xl(tfrac1x^4+tfrac2x^3r)
Colocando em evidência o denominador comum x^4:
f''(x) =e^1/x1+2xx^4
O sinal de f''(x) muda quando 1+2x=0, isto é, em x=-tfrac12.
  • Para x<-tfrac12, 1+2x<0 e f''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Para -tfrac12<x<0, 1+2x>0 e f''(x)>0: concavidade para cima.
  • Para x>0, claramente 1+2x>0 e f''(x)>0: concavidade para cima.
    Assim há ponto de inflexão em x=-tfrac12, com f(-tfrac12)=e^-2.

Passo 5

Não há pontos críticos (pois f'(x)neq0), logo nenhum máximo nem mínimo local dentro do domínio.
Reunindo as assíntotas e a monotonicidade/concavidade, podemos esboçar duas “ramificações”:
  • Em (-infty,0): f decresce de 1 (quando xto-infty) até 0 (quando xto0^-), mudando de concavidade em x=-tfrac12.
  • Em (0,+infty): f decresce de +infty (quando xto0^+) até 1 (quando xto+infty), sempre concava para cima.

Resposta

O gráfico de f(x)=e^1/x é formado por duas curvas disjuntas:
  1. Para x<0: curva decrescente que parte de (-infty,1), tem ponto de inflexão em l(-tfrac12,e^-2r), e se aproxima de y=0 quando xto0^-.
  2. Para x>0: curva decrescente que sai de +infty em xto0^+ e se aproxima assintoticamente de y=1 quando xto+infty.
Existem as assíntotas
x=0(vertical), y=1(horizontal)

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