Esboce o gráfico de
, analisando a função
através de derivadas
cálculos de limites apropriados.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
para isso vamos usar cálculos de limites (para achar assíntotas), derivadas (para monotonicidade) e segunda derivada (para concavidade e ponto de inflexão).
Passo 2
Definimos primeiro o domínio e estudamos os limites nas fronteiras:
O domínio é .
Para ,
e
O domínio é
Para
ou seja, há assíntota vertical em
no ramo à direita.
Para ,
e
Para
Para
ou
,
e
portanto existe assíntota horizontal
em ambos os lados.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada para ver monotonicidade:
Como
e
para
, temos
em todo o domínio.
Logo, é estritamente decrescente em
e em
.
Logo,
Passo 4
Para estudar concavidade e pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada:
Colocando em evidência o denominador comum
:
O sinal de
muda quando
, isto é, em
.
- Para
, e : concavidade para baixo. - Para
, e : concavidade para cima. - Para
, claramente e : concavidade para cima.
Assim há ponto de inflexão em, com .
Passo 5
Não há pontos críticos (pois
), logo nenhum máximo nem mínimo local dentro do domínio.
Reunindo as assíntotas e a monotonicidade/concavidade, podemos esboçar duas “ramificações”:
Reunindo as assíntotas e a monotonicidade/concavidade, podemos esboçar duas “ramificações”:
- Em
: decresce de (quando ) até (quando ), mudando de concavidade em . - Em
: decresce de (quando ) até (quando ), sempre concava para cima.
Resposta
O gráfico de
é formado por duas curvas disjuntas:
-
Para
: curva decrescente que parte de , tem ponto de inflexão em , e se aproxima de quando . -
Para
: curva decrescente que sai de em e se aproxima assintoticamente de quando .
Existem as assíntotas