Resolva y^prime prime+4 y^prime+5 y=e^-2 x cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + 4y' + 5y = e^-2xcos x
O método é: 1) resolver a equação homogênea associada, 2) encontrar uma solução particular yp por coeficientes indeterminados (observando ressonância), e 3) somar para obter a solução geral.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 4y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 5 = 0,
cuja raiz é
r = -2 pm i
Logo a solução homogênea é
yh = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 3

Para achar yp, fazemos a substituição
yp = e^-2xu(x)
Calcula-se
yp' = e^-2x(u' - 2u), yp'' = e^-2x(u'' - 4u' + 4u),
e então
yp'' + 4yp' + 5yp = e^-2xl(u'' - 4u' +4u +4u' -8u +5ur) = e^-2xl(u'' + ur)
A equação reduz-se a
u'' + u = cos x

Passo 4

A equação u''+u=cos x tem parte homogênea uh = Acos x + Bsin x, e como o termo forçante cos x ressoa, escolhemos
up = xl(alphacos x + betasin xr)
Calculando up'' + up obtém-se
up'' + up = -2alphasin x + 2betacos x
que deve ser igual a cos x. Igualando coeficientes:
-2alpha = 0 implies alpha = 0, 2beta = 1 implies beta = tfrac12
Logo
up = tfrac12,xsin x

Passo 5

Retornando a yp e à solução geral:
yp = e^-2xup = 12,x e^-2xsin x,
y = yh + yp = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr) + tfrac12,x e^-2xsin x

Resposta

y(x) = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr) + tfrac12,x e^-2xsin x

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