2^a Questão:(25 pontos) Calcule a derivada de f, onde:
f(x)=cos (3 x)+e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cos(3x)+e^2x
Para isso vamos usar a regra da soma de derivadas e a regra da cadeia aplicada a funções compostas. Em particular precisamos lembrar que
  1. ddxcos(u(x)) = -sin(u(x))cdot u'(x).
  2. ddxe^u(x) = e^u(x)cdot u'(x).

Passo 2

Para derivar cos(3x) definimos
u(x)=3x
Pela regra da cadeia,
ddxcos(3x) = -sinl(u(x)r)cdot u'(x) = -sin(3x)cdot 3 = -3sin(3x)

Passo 3

Para derivar e^2x definimos
v(x)=2x
Pela regra da cadeia,
ddxe^2x = e^v(x)cdot v'(x) = e^2xcdot 2 = 2e^2x

Passo 4

Agora, pela regra da soma de derivadas, somamos os resultados dos Passos 2 e 3:
f'(x)= -3sin(3x) + 2e^2x

Resposta

-3sin(3x) + 2e^2x

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