Qual é o valor de k nas expressões?
b) \mathrm{K}=(5)^{\log _{4} 7 \cdot \log _{5} 4}+\log 0,01

Passo 1

O enunciado pede o valor de K dado por
K=(5)^{\log_{4}7\cdot\log_{5}4}+\log 0,01.
Informações explícitas:
  • A expressão contém dois termos somados: um exponencial e um logaritmo decimal (base 10 implícita).
  • Os logaritmos aparecem com bases 4, 5 e a notação \log sem índice refere-se a base 10.
    O objetivo é calcular numericamente K.

Passo 2

Trabalhar o expoente do primeiro termo. Vou transformar os logaritmos para uma forma que facilite o produto \log_{4}7\cdot\log_{5}4.
Lembrete (fórmula de mudança de base): para qualquer base positiva a\neq1 e b\neq1,
\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural. Usando isso:
\log_{4}7 = \frac{\ln 7}{\ln 4},\qquad \log_{5}4 = \frac{\ln 4}{\ln 5}.

Passo 3

Multiplicando os dois:
\log_{4}7\cdot\log_{5}4 = \frac{\ln 7}{\ln 4}\cdot\frac{\ln 4}{\ln 5} = \frac{\ln 7}{\ln 5} = \log_{5}7.
Explicação em palavras: o \ln 4 cancela, sobrando a razão \ln 7/\ln 5, que é exatamente \log_{5}7.

Passo 4

Usar a propriedade de potências com logaritmo: para a>0 e a\neq1,
a^{\log_{a} b} = b.
Aplicando ao nosso caso com a=5 e b=7:
(5)^{\log_{4}7\cdot\log_{5}4} = 5^{\log_{5}7} = 7.
Breve motivo: se \log_{5}7 = x, então 5^{x}=7 por definição, logo 5^{\log_{5}7}=7.

Passo 5

Avaliar o segundo termo \log 0,01. Reescrevendo 0,01 como potência de 10:
0,01 = 10^{-2}.
Logo,
\log 0,01 = \log(10^{-2}) = -2,
pois \log(10^{c})=c.

Passo 6

Somar os dois resultados:
K = 7 + (-2) = 5.

Resposta

K=5

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