Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.
a) Qual a probabilidade de o número ser par?
b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50 ?
c) Qual a probabilidade de o número ser divisivel por 5 , dado que é par?

Passo 1

O enunciado diz que sorteamos um número ao acaso entre os inteiros de 1 a 100. As perguntas são três e eu vou listá-las claramente:
(a) Qual a probabilidade do número ser par?
(b) Qual a probabilidade do número ser par, dado que ele é menor que 50?
(c) Qual a probabilidade do número ser divisível por 5, dado que é par?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O espaço amostral S é o conjunto dos inteiros de 1 a 100, ou seja, |S| = 100.
  • Todos os números são igualmente prováveis (sorteio ao acaso entre inteiros 1…100).
  • Evento “par”: números divisíveis por 2.
  • Evento "menor que 50": números 1,2,\dots,49.
  • Evento "divisível por 5": números divisíveis por 5.
A resolução vai calcular contagens de elementos dos eventos e usar a definição de probabilidade em espaço equiprovável e a fórmula de probabilidade condicional.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (aula curta e prática):
  • Se o espaço amostral tem |S| resultados igualmente prováveis e um evento E tem |E| resultados favoráveis, então
P(E)=\frac{|E|}{|S|}.
Aqui |S|=100. Para probabilidades condicionais usamos a fórmula
P(E_1\mid E_2)=\frac{P(E_1\cap E_2)}{P(E_2)}=\frac{|E_1\cap E_2|}{|E_2|},
quando os resultados são equiprováveis (ou seja, podemos contar elementos).
Agora vamos aplicar isso passo a passo nos itens (a), (b) e (c).

Passo 3

Item (a): Probabilidade de o número ser par.
Primeiro conte quantos inteiros pares existem entre 1 e 100.
  • Um inteiro é par se for divisível por 2.
  • Os pares são 2,4,6,\dots,100.
  • A quantidade de pares é \left\lfloor\frac{100}{2}\right\rfloor=\frac{100}{2}=50. (Regra prática: entre 1 e N \lfloor N/2\rfloor pares; quando N é par isso dá exatamente N/2.)
    Portanto |\text{par}|=50 e
P(\text{par})=\frac{|\text{par}|}{|S|}=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}=0,5.
Explicação curta para memorização: metade dos números inteiros de 1 a 100 são pares.

Passo 4

Item (b): Probabilidade de ser par dado que é menor que 50.
Definição que usamos: para eventos A (“par”) e B ("menor que 50"),
P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.
Agora conte |B| e |A\cap B|.
  • B=\{1,2,\dots,49\}, logo |B|=49 (porque "menor que 50" é estrito).
  • A\cap B são os pares menores que 50: 2,4,6,\dots,48.
  • A quantidade de pares até 48 é \frac{48}{2}=24. (Ou \left\lfloor\frac{49}{2}\right\rfloor=24.)
    Portanto |A\cap B|=24 e
P(\text{par}\mid \text{menor que }50)=\frac{24}{49}.
Se quiser uma aproximação decimal para comparar mentalmente:
\frac{24}{49}\approx 0,4898.
Observação intuitiva: entre 1 e 49 não há exatamente metade pares (pois 49 é ímpar), por isso a probabilidade fica um pouco menor que 0,5.

Passo 5

Item (c): Probabilidade de ser divisível por 5 dado que é par.
Chamando D o evento "divisível por 5" e A o evento “par”, usamos
P(D\mid A)=\frac{|D\cap A|}{|A|}.
Já sabemos |A|=50 (do Passo 3). Agora conte |D\cap A|:
  • Um número é divisível por 5 e par simultaneamente se for divisível por \text{m.ú.l.}(2,5)=10ú.
  • Então D\cap A é o conjunto dos múltiplos de 10 entre 1 e 100: 10,20,\dots,100.
  • A quantidade desses múltiplos é \left\lfloor\frac{100}{10}\right\rfloor=\frac{100}{10}=10.
    Logo |D\cap A|=10 e
P(\text{divisível por }5\mid\text{par})=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}=0,2.í
Intuição curta: entre os pares, apenas aqueles que também são múltiplos de 5 (ou seja, múltiplos de 10) satisfazem a condição; há 10 desses entre 1 e 100, e 50 pares no total.

Passo 6

Pequeno resumo de técnica para a prova (dica amiga e prática):
  • Sempre escreva o espaço amostral |S| e conte os elementos dos eventos envolvendo divisibilidade com a fórmula \lfloor N/k\rfloor para múltiplos de k até N.
  • Para condicional, conte primeiro o evento condicionado (denominador) e depois a interseção (numerador).
  • Se ficar na dúvida com “menor que” ou “menor ou igual”, preste atenção se o enunciado usou o símbolo estrito; isso muda a contagem (no nosso caso "menor que 50" exclui o 50).
Força aí — você consegue! Vou deixar as respostas finais bem limpinhas logo abaixo para conferência.

Resposta

(a) \frac{1}{2}=0,5
(b) \frac{24}{49}\approx 0,4898
(c) \frac{1}{5}=0,2

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