Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.
a) Qual a probabilidade de o número ser par?
b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50 ?
c) Qual a probabilidade de o número ser divisivel por 5 , dado que é par?
a) Qual a probabilidade de o número ser par?
b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50 ?
c) Qual a probabilidade de o número ser divisivel por 5 , dado que é par?
Passo 1
O enunciado diz que sorteamos um número ao acaso entre os inteiros de
a
. As perguntas são três e eu vou listá-las claramente:
(a) Qual a probabilidade do número ser par?
(b) Qual a probabilidade do número ser par, dado que ele é menor que ?
(c) Qual a probabilidade do número ser divisível por , dado que é par?
(a) Qual a probabilidade do número ser par?
(b) Qual a probabilidade do número ser par, dado que ele é menor que
(c) Qual a probabilidade do número ser divisível por
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O espaço amostral
é o conjunto dos inteiros de a , ou seja, . - Todos os números são igualmente prováveis (sorteio ao acaso entre inteiros 1…100).
- Evento “par”: números divisíveis por
. - Evento "menor que
": números . - Evento "divisível por
": números divisíveis por .
A resolução vai calcular contagens de elementos dos eventos e usar a definição de probabilidade em espaço equiprovável e a fórmula de probabilidade condicional.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (aula curta e prática):
- Se o espaço amostral tem
resultados igualmente prováveis e um evento tem resultados favoráveis, então
Aqui
. Para probabilidades condicionais usamos a fórmula
quando os resultados são equiprováveis (ou seja, podemos contar elementos).
Agora vamos aplicar isso passo a passo nos itens (a), (b) e (c).
Passo 3
Item (a): Probabilidade de o número ser par.
Primeiro conte quantos inteiros pares existem entre
e
.
- Um inteiro é par se for divisível por
. - Os pares são
. - A quantidade de pares é
. (Regra prática: entre e há pares; quando é par isso dá exatamente .)
Portantoe
Explicação curta para memorização: metade dos números inteiros de
a
são pares.
Passo 4
Item (b): Probabilidade de ser par dado que é menor que
.
Definição que usamos: para eventos
(“par”) e
("menor que
"),
Agora conte
e
.
-
, logo (porque "menor que " é estrito). -
são os pares menores que : . - A quantidade de pares até
é . (Ou .)
Portantoe
Se quiser uma aproximação decimal para comparar mentalmente:
Observação intuitiva: entre
e
não há exatamente metade pares (pois
é ímpar), por isso a probabilidade fica um pouco menor que
.
Passo 5
Item (c): Probabilidade de ser divisível por
dado que é par.
Chamando
o evento "divisível por
" e
o evento “par”, usamos
Já sabemos
(do Passo 3). Agora conte
:
- Um número é divisível por
e par simultaneamente se for divisível por . - Então
é o conjunto dos múltiplos de entre e : . - A quantidade desses múltiplos é
.
Logoe
Intuição curta: entre os pares, apenas aqueles que também são múltiplos de
(ou seja, múltiplos de
) satisfazem a condição; há
desses entre
e
, e
pares no total.
Passo 6
Pequeno resumo de técnica para a prova (dica amiga e prática):
- Sempre escreva o espaço amostral
e conte os elementos dos eventos envolvendo divisibilidade com a fórmula para múltiplos de até . - Para condicional, conte primeiro o evento condicionado (denominador) e depois a interseção (numerador).
- Se ficar na dúvida com “menor que” ou “menor ou igual”, preste atenção se o enunciado usou o símbolo estrito; isso muda a contagem (no nosso caso "menor que
" exclui o ).
Força aí — você consegue! Vou deixar as respostas finais bem limpinhas logo abaixo para conferência.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)