Utilize o Teste da Razão para verificar a convergência ou divergência das séries:
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4} (Este teste pode não ser adequado)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+4}.
Informações dadas:
a_n = (-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+4}.
A série é alternada (os sinais trocam de sinal a cada termo). O enunciado sugere usar o Teste da Razão, mas já avisa que esse teste pode não ser adequado. A tarefa aqui é aplicar o Teste da Razão e, se for inconclusivo, aplicar um teste apropriado para decidir sobre a convergência.

Passo 2

Vou explicar o Teste da Razão (também chamado de Critério da Razão) de forma didática. Para uma série com termos a_n (podem ser complexos ou reais), definimos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Interpretação do resultado:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1 (ou L=+\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo: não podemos concluir nada a partir desse teste e precisamos usar outro critério.
Explicação rápida do porquê: o teste compara a série com uma série geométrica; quando a razão assintótica é menor que 1 os termos decaem rápido o suficiente.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão ao termo dado. Primeiro tomo o valor absoluto do termo:
|a_n|=\frac{n}{n^{2}+4}.
Calculo a razão dos módulos:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{n+1}{(n+1)^{2}+4}\cdot\frac{n^{2}+4}{n}.
Vou simplificar essa expressão para estudar o limite quando n\to\infty.

Passo 4

Multiplicando numerador e denominador e escrevendo explicitamente:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{(n+1)(n^{2}+4)}{n\big((n+1)^{2}+4\big)} =\frac{n^{3}+n^{2}+4n+4}{n^{3}+2n^{2}+5n}.
Para encontrar o limite quando n\to\infty é prático dividir numerador e denominador por n^{3}:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}}}{1+\frac{2}{n}+\frac{5}{n^{2}}}.
Agora passo ao limite:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{1+0+0+0}{1+0+0}=1.

Passo 5

Conclusão do Teste da Razão: o limite L é
L=1,
portanto, pelo que expliquei no Passo 2, o Teste da Razão é inconclusivo aqui. Ou seja, a aplicação direta do Teste da Razão não nos diz se a série converge ou diverge.

Passo 6

Como o Teste da Razão foi inconclusivo, escolhemos um outro teste adequado. A série é alternada, então o teste natural é o Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada). Vou enunciar e verificar suas hipóteses.
Teste de Leibniz (condições suficientes): para uma série \sum (-1)^{n-1} b_n com b_n\ge 0, se
  1. b_n é eventualmente decrescente (ou seja, existe N tal que b_{n+1}\le b_n para todo n\ge N), e
  2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0,
    então a série converge.
No nosso caso tomamos
b_n=\frac{n}{n^{2}+4}\quad(\text{é }|a_n|).é
Vamos verificar as duas condições.

Passo 7

Verificação da condição \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Podemos reescrever
b_n=\frac{n}{n^{2}+4}=\frac{1}{n+\frac{4}{n}}.
Quando n\to\infty temos n+\frac{4}{n}\to\infty, logo
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Isso mostra a segunda condição do Teste de Leibniz.

Passo 8

Verificação da monotonicidade eventual de b_n.
Uma maneira simples e elegante é considerar a função contínua
f(x)=\frac{x}{x^{2}+4},\qquad x>0,
e estudar sua derivada. Calculando:
f'(x)=\frac{(x^{2}+4)-2x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{4-x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}.
Note que f'(x)<0 sempre que x>2. Portanto f é decrescente para x>2. Isso implica que a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge 3. Assim b_n é eventualmente decrescente (a partir de n=3).
Como já vimos \lim_{n\to\infty} b_n=0, as duas condições do Teste de Leibniz são satisfeitas.

Passo 9

Aplicando o Teste de Leibniz: a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+4}
converge.
Agora, é útil distinguir convergência condicional de absoluta. Para verificar se a série converge absolutamente, analisamos a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+4}.
Note que \frac{n}{n^{2}+4} tem comportamento assintótico \sim \frac{1}{n} quando n grande, porque
\frac{n}{n^{2}+4}=\frac{1}{n+\frac{4}{n}}\sim\frac{1}{n}.
Fazendo a comparação limite com a série harmônica \sum \frac{1}{n}:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{n^{2}+4}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+4}=1.
Como a série harmônica diverge e o limite é finito e não nulo, pela comparação limite a série \sum \frac{n}{n^{2}+4} também diverge. Logo a série original não converge absolutamente; converge apenas condicionalmente.

Passo 10

Resumo final e conclusão (sem passos técnicos adicionais):
  • O Teste da Razão dá L=1, portanto é inconclusivo neste caso.
  • Aplicando o Teste de Leibniz (série alternada) concluímos que a série converge.
  • A convergência é condicional, pois a série dos módulos diverge.

Resposta

Teste da razão: inconclusivo ( L=1).\nA série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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