Utilize o Teste da Razão para verificar a convergência ou divergência das séries: \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+4} (Este teste pode não ser adequado)
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+4}.
Informações dadas:
a_n = (-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+4}.
A série é alternada (os sinais trocam de sinal a cada termo). O enunciado sugere usar o Teste da Razão, mas já avisa que esse teste pode não ser adequado. A tarefa aqui é aplicar o Teste da Razão e, se for inconclusivo, aplicar um teste apropriado para decidir sobre a convergência.
Passo 2
Vou explicar o Teste da Razão (também chamado de Critério da Razão) de forma didática. Para uma série com termos a_n (podem ser complexos ou reais), definimos
Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
Se L>1 (ou L=+\infty), a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo: não podemos concluir nada a partir desse teste e precisamos usar outro critério.
Explicação rápida do porquê: o teste compara a série com uma série geométrica; quando a razão assintótica é menor que 1 os termos decaem rápido o suficiente.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão ao termo dado. Primeiro tomo o valor absoluto do termo:
portanto, pelo que expliquei no Passo 2, o Teste da Razão é inconclusivo aqui. Ou seja, a aplicação direta do Teste da Razão não nos diz se a série converge ou diverge.
Passo 6
Como o Teste da Razão foi inconclusivo, escolhemos um outro teste adequado. A série é alternada, então o teste natural é o Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada). Vou enunciar e verificar suas hipóteses.
Teste de Leibniz (condições suficientes): para uma série \sum (-1)^{n-1} b_n com b_n\ge 0, se
b_n é eventualmente decrescente (ou seja, existe N tal que b_{n+1}\le b_n para todo n\ge N), e
\lim_{n\to\infty} b_n = 0,
então a série converge.
No nosso caso tomamos
b_n=\frac{n}{n^{2}+4}\quad(\text{é }|a_n|).é
Vamos verificar as duas condições.
Passo 7
Verificação da condição \lim_{n\to\infty} b_n=0.
Podemos reescrever
b_n=\frac{n}{n^{2}+4}=\frac{1}{n+\frac{4}{n}}.
Quando n\to\infty temos n+\frac{4}{n}\to\infty, logo
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Isso mostra a segunda condição do Teste de Leibniz.
Passo 8
Verificação da monotonicidade eventual de b_n.
Uma maneira simples e elegante é considerar a função contínua
Note que f'(x)<0 sempre que x>2. Portanto f é decrescente para x>2. Isso implica que a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge 3. Assim b_n é eventualmente decrescente (a partir de n=3).
Como já vimos \lim_{n\to\infty} b_n=0, as duas condições do Teste de Leibniz são satisfeitas.
Passo 9
Aplicando o Teste de Leibniz: a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+4}
converge.
Agora, é útil distinguir convergência condicional de absoluta. Para verificar se a série converge absolutamente, analisamos a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+4}.
Note que \frac{n}{n^{2}+4} tem comportamento assintótico \sim \frac{1}{n} quando n grande, porque
Como a série harmônica diverge e o limite é finito e não nulo, pela comparação limite a série \sum \frac{n}{n^{2}+4} também diverge. Logo a série original não converge absolutamente; converge apenas condicionalmente.
Passo 10
Resumo final e conclusão (sem passos técnicos adicionais):
O Teste da Razão dá L=1, portanto é inconclusivo neste caso.
Aplicando o Teste de Leibniz (série alternada) concluímos que a série converge.
A convergência é condicional, pois a série dos módulos diverge.
Resposta
Teste da razão: inconclusivo (L=1).\nA série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).