Dois dados d_{1} e d_{2} são lançados.
a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 6 , se a face observada em d_{1} foi 2 ?
b) Qual a probabilidade de o dado d_{1} apresentar face 2 , se a soma dos pontos fol 6 ?
c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que 7, sabendo que em ao menos um dado apareceu o resultado 2 ?
d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a 6 , se a soma dos pontos nos dois dados foi menor ou igual a 4 ?
e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5 , se a soma dos pontos foi menor ou igual a 9 ?

Passo 1

O enunciado diz que dois dados d_{1} e d_{2} são lançados (dados comuns de seis faces, com faces 1 a 6). Ele faz cinco perguntas condicionais diferentes:
a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 6, sabendo que a face observada em d_{1} foi 2?
b) Qual a probabilidade de o dado d_{1} apresentar face 2, sabendo que a soma dos pontos foi 6?
c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que 7, sabendo que em ao menos um dado apareceu o resultado 2?
d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a 6, sabendo que a soma dos pontos nos dois dados foi menor ou igual a 4?
e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5, sabendo que a soma dos pontos foi menor ou igual a 9?
Informações relevantes dadas (implícitas no problema): lançamentos independentes, cada resultado ordenado (i,j) com i,j\in\{1,\dots,6\} é igualmente provável, total de 36 resultados possíveis.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Espaço amostral: como os dois dados são ordenados e justos, o conjunto de resultados possíveis é
\{(i,j)\mid i=1,\dots,6,\; j=1,\dots,6\},
com 36 resultados igualmente prováveis.
  • Probabilidade de um evento A em espaço equiprovável: se A tem n(A) resultados, então
P(A)=\frac{n(A)}{36}.
Isto funciona porque todos os resultados têm probabilidade 1/36.
  • Probabilidade condicional: se queremos P(A\mid B) (probabilidade de A sabendo B), usamos
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Em termos de contagem, quando todos os resultados são equiprováveis,
P(A\mid B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}.
Ou seja, dentro dos resultados que satisfazem B (que são igualmente prováveis), contamos quantos também satisfazem A.
Vou aplicar essa ideia para cada item, listando os resultados quando ajuda a visualizar.

Passo 3

(a) Queremos P(\text{soma}=6 \mid d_{1}=2).
  • Evento dado: d_{1}=2. Os resultados possíveis sob essa condição são
(2,1),\,(2,2),\,(2,3),\,(2,4),\,(2,5),\,(2,6),
portanto n(B)=6.
  • Entre esses, a soma é 6 apenas em (2,4). Logo n(A\cap B)=1.
  • Usando contagem:
P(\text{soma}=6 \mid d_{1}=2)=\frac{1}{6}.
Explicação prática: sabendo que o primeiro deu 2, o que importa é o segundo dado; só o 4 no segundo dá soma 6.

Passo 4

(b) Queremos P(d_{1}=2 \mid \text{soma}=6).
  • Primeiro contamos os resultados com soma 6. São os pares ordenados:
(1,5),\,(2,4),\,(3,3),\,(4,2),\,(5,1),
portanto n(\text{soma}=6)=5.
  • Dos cinco, apenas (2,4) tem d_{1}=2. Assim n(d_{1}=2\\ \cap\\ \text{soma}=6)=1.
  • Então
P(d_{1}=2 \mid \text{soma}=6)=\frac{1}{5}.
Interpretação: dado que a soma é 6, existem cinco arranjos possíveis e só um tem o primeiro dado igual a 2.

Passo 5

(c) Queremos P(\text{soma}<7 \mid \text{ao menos um dado é }2)é. Vou definir eventos:
  • A=\{\text{soma}<7\} (isto é, soma \le 6).
  • B=\{\text{pelo menos um dos dados vale }2\}.
Contagem de B:
  • Resultados com d_{1}=2: 6 pares (2,1),\dots,(2,6).
  • Resultados com d_{2}=2: 6 pares (1,2),\dots,(6,2).
  • O par (2,2) foi contado duas vezes, então
n(B)=6+6-1=11.
Contagem de A\cap B (soma \le 6 e pelo menos um 2):
  • Se d_{1}=2, para ter soma \le 6 precisamos de 2+d_{2}\le 6\Rightarrow d_{2}\le 4. Isso gera os pares (2,1),(2,2),(2,3),(2,4): 4 resultados.
  • Se d_{2}=2 e d_{1}\neq 2 (para não repetir os já contados), precisamos de d_{1}+2\le 6\Rightarrow d_{1}\le 4 e d_{1}\neq 2, ou seja d_{1}=1,3,4. Isso dá (1,2),(3,2),(4,2): 3 resultados.
  • Total:
n(A\cap B)=4+3=7.
Logo
P(\text{soma}<7 \mid \text{ao menos um }2)=\frac{7}{11}.
Comentário prático: entre os 11 casos com pelo menos um 2, sete têm soma até 6.

Passo 6

(d) Queremos P(\text{soma}\le 6 \mid \text{soma}\le 4).
Observe que o evento \{\text{soma}\le 4\} é totalmente contido em \{\text{soma}\le 6\}: se a soma é \le 4, certamente é \le 6. Em termos de conjuntos, D\subset C, então sempre que D ocorre C também ocorre. Assim
P(\text{soma}\le 6 \mid \text{soma}\le 4)=1.
Explicação intuitiva: sabendo que a soma já é pequena (no máximo 4), ela com certeza é também no máximo 6.

Passo 7

(e) Queremos P(\max\{d_{1},d_{2}\}=5 \mid \text{soma}\le 9).
Definimos:
  • E=\{\max\{d_{1},d_{2}\}=5\}. Isso significa que ambos os dados são \le 5 e pelo menos um é 5.
  • F=\{\text{soma}\le 9\}.
Contagem de F:
  • É mais fácil contar o complemento: somas \ge 10 ocorrem para somas 10,11,12 com frequências 3,2,1 respectivamente (tabela clássica das somas de dois dados). Total de somas \ge 10 é 3+2+1=6.
  • Então
n(F)=36-6=30.
Contagem de E:
  • Pares com ambos \le 5 são 5\times 5=25.
  • Desses, os que têm pelo menos um 5 são os que têm um 5 na primeira ou na segunda coordenada. Contagem direta: 5 pares (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5) e 4 pares adicionais (1,5),(2,5),(3,5),(4,5) (excluímos (5,5) da segunda lista para não contar duas vezes). Portanto
n(E)=5+4=9.
Interseção E\cap F:
  • Todos os pares com \max=5 têm soma no máximo 10. Apenas o par (5,5) tem soma 10, que é maior que 9, então ele NÃO pertence a F.
  • Logo E\cap F é E sem (5,5), ou seja 9-1=8 resultados.
Finalmente
P(\max=5 \mid \text{soma}\le 9)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.
Interpretação breve: entre os 30 resultados com soma até 9, oito têm máximo igual a 5.

Resposta

a) \dfrac{1}{6}
b) \dfrac{1}{5}
c) \dfrac{7}{11}
d) 1
e) \dfrac{4}{15}

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