Dois dados
e
são lançados.
a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 6 , se a face observada em
foi 2 ?
b) Qual a probabilidade de o dado
apresentar face 2 , se a soma dos pontos fol 6 ?
c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que 7, sabendo que em ao menos um dado apareceu o resultado 2 ?
d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a 6 , se a soma dos pontos nos dois dados foi menor ou igual a 4 ?
e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5 , se a soma dos pontos foi menor ou igual a 9 ?
a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser 6 , se a face observada em
b) Qual a probabilidade de o dado
c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que 7, sabendo que em ao menos um dado apareceu o resultado 2 ?
d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a 6 , se a soma dos pontos nos dois dados foi menor ou igual a 4 ?
e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser 5 , se a soma dos pontos foi menor ou igual a 9 ?
Passo 1
O enunciado diz que dois dados
e
são lançados (dados comuns de seis faces, com faces
a
). Ele faz cinco perguntas condicionais diferentes:
a) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser
, sabendo que a face observada em
foi
?
b) Qual a probabilidade de o dado apresentar face
, sabendo que a soma dos pontos foi
?
c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que , sabendo que em ao menos um dado apareceu o resultado
?
d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a , sabendo que a soma dos pontos nos dois dados foi menor ou igual a
?
e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser , sabendo que a soma dos pontos foi menor ou igual a
?
b) Qual a probabilidade de o dado
c) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor que
d) Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser menor ou igual a
e) Qual a probabilidade de o máximo dos números observados ser
Informações relevantes dadas (implícitas no problema): lançamentos independentes, cada resultado ordenado
com
é igualmente provável, total de
resultados possíveis.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado passo a passo):
- Espaço amostral: como os dois dados são ordenados e justos, o conjunto de resultados possíveis é
com
resultados igualmente prováveis.
- Probabilidade de um evento
em espaço equiprovável: se tem resultados, então
Isto funciona porque todos os resultados têm probabilidade
.
- Probabilidade condicional: se queremos
(probabilidade de sabendo ), usamos
Em termos de contagem, quando todos os resultados são equiprováveis,
Ou seja, dentro dos resultados que satisfazem
(que são igualmente prováveis), contamos quantos também satisfazem
.
Vou aplicar essa ideia para cada item, listando os resultados quando ajuda a visualizar.
Passo 3
(a) Queremos
.
- Evento dado:
. Os resultados possíveis sob essa condição são
portanto
.
-
Entre esses, a soma é
apenas em . Logo . -
Usando contagem:
Explicação prática: sabendo que o primeiro deu
, o que importa é o segundo dado; só o
no segundo dá soma
.
Passo 4
(b) Queremos
.
- Primeiro contamos os resultados com soma
. São os pares ordenados:
portanto
.
-
Dos cinco, apenas
tem . Assim . -
Então
Interpretação: dado que a soma é
, existem cinco arranjos possíveis e só um tem o primeiro dado igual a
.
Passo 5
(c) Queremos
. Vou definir eventos:
-
(isto é, soma ). -
.
Contagem de
:
- Resultados com
: pares . - Resultados com
: pares . - O par
foi contado duas vezes, então
Contagem de
(soma
e pelo menos um 2):
- Se
, para ter soma precisamos de . Isso gera os pares : resultados. - Se
e (para não repetir os já contados), precisamos de e , ou seja . Isso dá : resultados. - Total:
Logo
Comentário prático: entre os 11 casos com pelo menos um
, sete têm soma até
.
Passo 6
(d) Queremos
.
Observe que o evento
é totalmente contido em
: se a soma é
, certamente é
. Em termos de conjuntos,
, então sempre que
ocorre
também ocorre. Assim
Explicação intuitiva: sabendo que a soma já é pequena (no máximo
), ela com certeza é também no máximo
.
Passo 7
(e) Queremos
.
Definimos:
-
. Isso significa que ambos os dados são e pelo menos um é . -
.
Contagem de
:
- É mais fácil contar o complemento: somas
ocorrem para somas com frequências respectivamente (tabela clássica das somas de dois dados). Total de somas é . - Então
Contagem de
:
- Pares com ambos
são . - Desses, os que têm pelo menos um
são os que têm um na primeira ou na segunda coordenada. Contagem direta: pares e pares adicionais (excluímos da segunda lista para não contar duas vezes). Portanto
Interseção
:
- Todos os pares com
têm soma no máximo . Apenas o par tem soma , que é maior que , então ele NÃO pertence a . - Logo
é sem , ou seja resultados.
Finalmente
Interpretação breve: entre os
resultados com soma até
, oito têm máximo igual a
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)