O número de táxis que, por hora, recolhe passageiros na área das chegadas de um pequeno aeroporto segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=60.
O número de passageiros por táxi (Y) segue a distribuição: Y=\{1,2,3,4\}, p_{Y}(y)=\{0.60,0.20,0.10,0.10\},
Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de passageiros transportados em um dia que 65 táxis recolheram passageiros na área das chegadas.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tomei os números diretamente do enunciado):
  • O número de táxis que recolheram passageiros num dia é 65 (situação dada).
  • O número de passageiros por táxi, denotado por Y, tem suporte \{1,2,3,4\} com distribuição p_Y(1)=0,60,\quad p_Y(2)=0,20,\quad p_Y(3)=0,10,\quad p_Y(4)=0,10.
O que é pedido:
  • Calcular o valor esperado do número total de passageiros transportados nesse dia em que 65 táxis recolheram passageiros.
  • Calcular o desvio padrão do número total de passageiros transportados nesse mesmo dia.
Observação importante (assunção usada): vou assumir que o número de passageiros atendido por cada táxi é independente e identicamente distribuído segundo Y. Com isso, o total de passageiros será a soma de 65 variáveis independentes com a mesma distribuição de Y.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor esperado de Y, isto é, a média do número de passageiros por táxi. Lembrete da fórmula: para uma variável discreta Y com valores y e probabilidades p_Y(y),
\mathbb{E}[Y]=\sum_{y} y\,p_Y(y).
Aplicando aos valores dados:
\mathbb{E}[Y]=1\cdot0,60+2\cdot0,20+3\cdot0,10+4\cdot0,10.
Calcule passo a passo:
1\cdot0,60=0,60,\quad 2\cdot0,20=0,40,\quad 3\cdot0,10=0,30,\quad 4\cdot0,10=0,40.
Somando:
\mathbb{E}[Y]=0,60+0,40+0,30+0,40=1,70.
Interpretação: em média cada táxi leva 1,70 passageiros.

Passo 3

Para calcular a variância de Y precisamos de \mathbb{E}[Y^2]. A fórmula é
\mathbb{E}[Y^2]=\sum_{y} y^2 p_Y(y).
Computando termo a termo:
1^2\cdot0,60=0,60,\quad 2^2\cdot0,20=4\cdot0,20=0,80,
3^2\cdot0,10=9\cdot0,10=0,90,\quad 4^2\cdot0,10=16\cdot0,10=1,60.
Somando:
\mathbb{E}[Y^2]=0,60+0,80+0,90+1,60=3,90.

Passo 4

Agora a variância de Y é dada por
\operatorname{Var}(Y)=\mathbb{E}[Y^2]-(\mathbb{E}[Y])^2.
Substituindo os valores que obtivemos:
\operatorname{Var}(Y)=3,90-(1,70)^2=3,90-2,89=1,01.
Interpretação: a variância mede a dispersão do número de passageiros por táxi; aqui é 1,01 (unidade: passageiros²).

Passo 5

Denotemos por T o total de passageiros transportados no dia por todos os 65 táxis. Então
T=\sum_{i=1}^{65} Y_i,
onde os Y_i são iid com a mesma distribuição de Y.
Propriedades que usaremos:
  • Linearidade da esperança: \mathbb{E}[T]=\sum_{i=1}^{65}\mathbb{E}[Y_i]=65\mathbb{E}[Y]. (A linearidade vale independentemente de independência.)
  • Se os Y_i são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias: \operatorname{Var}(T)=\sum_{i=1}^{65}\operatorname{Var}(Y_i)=65\operatorname{Var}(Y).

Passo 6

Calculemos a esperança do total:
\mathbb{E}[T]=65\cdot\mathbb{E}[Y]=65\cdot1,70.
Fazendo a multiplicação de forma simples:
65\cdot1,70=65\cdot(1+0,7)=65+45,5=110,5.
Portanto \mathbb{E}[T]=110,5. Interpretação: espera-se transportar em média 110{,}5 passageiros nesse dia de 65 táxis.

Passo 7

Calculemos a variância do total usando independência:
\operatorname{Var}(T)=65\cdot\operatorname{Var}(Y)=65\cdot1,01.
Multiplicando:
65\cdot1,01=65\cdot(1+0,01)=65+0,65=65,65.

Passo 8

O desvio padrão do total é a raiz quadrada da variância:
\operatorname{SD}(T)=\sqrt{\operatorname{Var}(T)}=\sqrt{65,65}.
Aproximando a raiz:
\sqrt{65,65}\approx8,103.
(Arredondando para duas casas: 8,10.)

Passo 9

Resumo interpretativo rápido: com 65 táxis, espera-se transportar cerca de 110{,}5 passageiros no dia, com uma incerteza (desvio padrão) de aproximadamente 8{,}10 passageiros. Isso significa que oscilações típicas em torno da média têm ordem de grandeza de oito passageiros.

Resposta

Valor esperado: \mathbb{E}[T]=110,5
Desvio padrão: \operatorname{SD}(T)\approx8,103

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