O número de táxis que, por hora, recolhe passageiros na área das chegadas de um pequeno aeroporto segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
.
O número de passageiros por táxi
segue a distribuição:
,
Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de passageiros transportados em um dia que 65 táxis recolheram passageiros na área das chegadas.
Calcule o valor esperado e o desvio padrão do número de passageiros transportados em um dia que 65 táxis recolheram passageiros na área das chegadas.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tomei os números diretamente do enunciado):
- O número de táxis que recolheram passageiros num dia é
(situação dada). - O número de passageiros por táxi, denotado por
, tem suporte com distribuição
O que é pedido:
- Calcular o valor esperado do número total de passageiros transportados nesse dia em que
táxis recolheram passageiros. - Calcular o desvio padrão do número total de passageiros transportados nesse mesmo dia.
Observação importante (assunção usada): vou assumir que o número de passageiros atendido por cada táxi é independente e identicamente distribuído segundo
. Com isso, o total de passageiros será a soma de
variáveis independentes com a mesma distribuição de
.
Passo 2
Primeiro calculamos o valor esperado de
, isto é, a média do número de passageiros por táxi. Lembrete da fórmula: para uma variável discreta
com valores
e probabilidades
,
Aplicando aos valores dados:
Calcule passo a passo:
Somando:
Interpretação: em média cada táxi leva
passageiros.
Passo 3
Para calcular a variância de
precisamos de
. A fórmula é
Computando termo a termo:
Somando:
Passo 4
Agora a variância de
é dada por
Substituindo os valores que obtivemos:
Interpretação: a variância mede a dispersão do número de passageiros por táxi; aqui é
(unidade: passageiros²).
Passo 5
Denotemos por
o total de passageiros transportados no dia por todos os
táxis. Então
onde os
são iid com a mesma distribuição de
.
Propriedades que usaremos:
- Linearidade da esperança:
. (A linearidade vale independentemente de independência.) - Se os
são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Passo 6
Calculemos a esperança do total:
Fazendo a multiplicação de forma simples:
Portanto
. Interpretação: espera-se transportar em média
passageiros nesse dia de
táxis.
Passo 7
Calculemos a variância do total usando independência:
Multiplicando:
Passo 8
O desvio padrão do total é a raiz quadrada da variância:
Aproximando a raiz:
(Arredondando para duas casas:
.)
Passo 9
Resumo interpretativo rápido: com
táxis, espera-se transportar cerca de
passageiros no dia, com uma incerteza (desvio padrão) de aproximadamente
passageiros. Isso significa que oscilações típicas em torno da média têm ordem de grandeza de oito passageiros.
Resposta
Valor esperado:
Desvio padrão:
Desvio padrão: