Para uma pesquisa piloto, realizada em uma grande cidade, escolheu-se aleatoriamente 200 habitantes e 75 \% deles mostraram-se favoráveis à construção de uma ponte. A margem de erro do intervalo de confiança para a proporção de habitantes favoráveis à construção de uma ponte, com 95 \% de confiança, é igual a:
a) 5.0 \%
b) 6.0 \%
c) 5.2 \%
d) 7.9 \%
e) 6.6%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Tamanho da amostra: n=200.
  • Proporção observada favorável: 75\%, ou seja \hat{p}=0{,}75.
    O que o enunciado pede: a margem de erro (em porcentagem) do intervalo de confiança para a proporção, com nível de confiança de 95\%.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando por que):
Quando se estima uma proporção por uma amostra grande, a distribuição amostral de \hat{p} é aproximadamente Normal pela aproximação do Teorema Central do Limite. A margem de erro E do intervalo de confiança para a proporção é dada por
E = z_{\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde:
  • z_{\alpha/2} é o quantil da Normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para 95\% usamos z_{0{,}025});
  • \hat{p} é a proporção amostral;
  • n é o tamanho da amostra.
    Explicando cada termo de forma simples: \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão (medida de variação) da proporção amostral; multiplicando pelo fator z_{\alpha/2} obtemos a “faixa” que cobre a incerteza com a confiança desejada.

Passo 3

Valor de z_{\alpha/2} para 95\% de confiança:
Para 95\% de confiança temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O valor clássico é
z_{0{,}025}=1{,}96.

Passo 4

Calcular o erro padrão:
Primeiro calculemos \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}75\cdot(1-0{,}75)=0{,}75\cdot0{,}25=0{,}1875.
Agora dividimos por n=200 e tiramos a raiz:
\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\dfrac{0{,}1875}{200}}=\sqrt{0{,}0009375}\approx 0{,}030618\\ .

Passo 5

Calcular a margem de erro E:
E = 1{,}96 \times 0{,}030618 \approx 0{,}0600.
Convertendo para porcentagem:
E \approx 0{,}0600 = 6{,}0\%.

Passo 6

Interpretação e escolha da alternativa:
A margem de erro do intervalo de confiança de 95\% é aproximadamente 6{,}0\%. Entre as alternativas dadas, corresponde à letra b).

Resposta

b) 6{,}0\%

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