Um aluno de engenharia passando por um cassino deseja testar se uma moeda (cara ou coroa) é honesta. Para isso, lançou 100 vezes e verificou que ocorreram 60 caras e 40 coroas. Logo, concluiu, a partir do teste hipótese bilateral, que: (assinale a alternativa correta. Apresentar os cálculos para pontuar.)
(1) o p-valor do teste calculado foi igual a 0.0455 ;
(2) op-valor do teste calculado foi igual a 0.02275 ;
(3) o p-valor do teste calculado foi igual a 0.97725 ;

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (sem resolver ainda):
  • Número de lançamentos: n=100.
  • Número de caras observadas: X=60.
  • Proporção observada: \hat{p}=\dfrac{X}{n}=\dfrac{60}{100}=0,6.
  • Teste de hipótese bilateral sobre a honestidade da moeda, isto é:
H_0:\; p=0,5\qquad\text{vs}\qquad H_1:\; p\neq 0,5.
  • Pede o cálculo do p-valor do teste bilateral e indicação da alternativa correta entre:
    (1) p-valor =0,0455;
    (2) p-valor =0,02275;
    (3) p-valor =0,97725.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática):
  • Para testar uma proporção com n grande costuma-se usar a aproximação normal (Teorema do Limite Central). A ideia é que a distribuição de \hat{p} é aproximadamente normal com média p e variância p(1-p)/n quando n é grande.
  • Então usamos o estatístico padronizado
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}},
onde:
  • \hat{p} é a proporção observada,
  • p_0 é a proporção sob H_0,
  • n é o número de observações,
  • a raiz no denominador é o erro padrão sob H_0.
  • Para um teste bilateral, o p-valor é
\text{p-valor} = 2\bigl(1-\Phi(|Z|)\bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão (probabilidade de Z ser ≤ um certo valor).

Passo 3

Calcular o erro padrão e o valor de Z:
  • Sob H_0 temos p_0=0,5. Então o erro padrão é
\text{SE}=\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\dfrac{0,5\cdot(1-0,5)}{100}}=\sqrt{\dfrac{0,25}{100}}=\sqrt{0,0025}=0,05.
  • O valor observado de \hat{p} é 0,6. Portanto
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\text{SE}}=\frac{0,6-0,5}{0,05}=\frac{0,1}{0,05}=2.

Passo 4

Calcular o p-valor bilateral a partir de Z:
  • Primeiro obter a cauda superior da normal padrão: \;1-\Phi(2).)
  • Usando tabelas ou calculadora da normal padrão sabe-se que
\Phi(2)=0,97725\quad\Rightarrow\quad 1-\Phi(2)=0,02275.
  • Como o teste é bilateral, multiplicamos por 2:
\text{p-valor}=2\cdot(1-\Phi(2))=2\cdot 0,02275=0,04550\approx 0,0455.

Passo 5

Interpretação em relação às alternativas dadas:
  • A alternativa (1) apresenta 0,0455, que coincide com o p-valor bilateral calculado acima.
  • A alternativa (2) 0,02275 é o p-valor de um teste unilateral superior (apenas P(\hat p\ge 0,6)).
  • A alternativa (3) 0,97725 é \Phi(2), ou seja, a probabilidade acumulada até Z=2, que não é o p-valor bilateral.

Resposta

(1) o p-valor do teste calculado foi igual a 0,0455

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