Um número de três dígitos em base 11 é tal que quando escrito em base 9 , tem sua ordem invertida. Determine o número.

Passo 1

O enunciado diz que existe um número de três dígitos escrito em base 11 cuja escrita em base 9 tem os dígitos na ordem invertida. Vou listar claramente o que isso significa e as informações que temos.
  • Seja o número, em base 11, representado por \overline{abc}_{11}, em que a, b e c são os dígitos (cada um é um inteiro).
  • Em base 11 os dígitos válidos vão de 0 a 10. Como é um número de três dígitos, temos a\neq0.
  • A afirmação “quando escrito em base 9, tem sua ordem invertida” quer dizer que o mesmo número, escrito em base 9, é \overline{cba}_9. Ou seja, os dígitos aparecem na ordem inversa.
  • Em base 9 os dígitos válidos são 0 a 8. Como os dígitos na base 9 são c, b, a (os mesmos símbolos numéricos), isso implica necessariamente que a,b,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} \quad\text{e}\quad a\ne0.
  • O que o problema pede: determinar todos os números que satisfazem essa propriedade (ou seja, encontrar a,b,c e, se quiser, o valor decimal do número).

Passo 2

Vou traduzir as duas escritas para a forma de valor decimal (soma ponderada pelos valores posicional). Isso é a base do raciocínio.
  • Em qualquer base m, o número de três dígitos \overline{xyz}_m corresponde ao valor
    x\cdot m^2 + y\cdot m + z.
    Aqui x,y,z são os dígitos e cada termo corresponde à contribuição das posições centenas, dezenas e unidades na base m.
  • Aplicando isso ao nosso caso:
    • O valor do número quando escrito em base 11 é N = a\cdot 11^2 + b\cdot 11 + c.
    • O mesmo número, quando escrito em base 9 como \overline{cba}_9, tem valor N = c\cdot 9^2 + b\cdot 9 + a.
  • Igualando as duas expressões (pois representam o mesmo N), obtemos a equação que vai governar a,b,c:
    a\cdot 11^2 + b\cdot 11 + c = c\cdot 9^2 + b\cdot 9 + a.

Passo 3

Vou manipular a equação para obter uma relação mais simples entre a,b,c.
  • Desenvolvendo os quadrados e agrupando termos: 121a + 11b + c = 81c + 9b + a.
  • Colocando todos os termos no lado esquerdo: 121a - a + 11b - 9b + c - 81c = 0.
  • Simplificando cada diferença: 120a + 2b - 80c = 0.
  • Dividindo ambos os lados por 2 (para simplificar): 60a + b - 40c = 0.
  • Isolando b: b = 40c - 60a.
Esta é uma fórmula direta para b em função de a e c. Lembre-se: a,b,c são inteiros com 1\le a\le 8 e 0\le b,c\le 8.

Passo 4

Agora uso os limites admissíveis para b para restringir a e c.
  • Como b deve satisfazer 0\le b\le 8, substituindo a expressão temos:
    0 \le 40c - 60a \le 8.
  • Essa desigualdade pode ser escrita como duas partes. Primeiro,
    40c - 60a \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 40c \ge 60a \quad\Rightarrow\quad c \ge \frac{60a}{40} = 1{,}5a.
    Segundo,
    40c - 60a \le 8 \quad\Rightarrow\quad 40c \le 60a + 8 \quad\Rightarrow\quad c \le \frac{60a+8}{40} = 1{,}5a + 0{,}2.
  • Juntando:
    1{,}5a \le c \le 1{,}5a + 0{,}2.
    Observe que o intervalo tem largura 0{,}2, ou seja, muito estreito: para cada a há no máximo um inteiro c possível, e esse inteiro só existe quando 1{,}5a está muito próximo de um inteiro (dentro de 0{,}2).
  • Como a deve ser um inteiro entre 1 e 8, calculo 1{,}5a para a=1,\dots,8 e verifico se existe um inteiro c no intervalo:
    • a=1:\; 1{,}5a=1{,}5 \Rightarrow intervalo 1{,}5 a 1{,}7 — nenhum inteiro.
    • a=2:\; 1{,}5a=3{,}0 \Rightarrow intervalo 3{,}0 a 3{,}2 — permite c=3.
    • a=3:\; 1{,}5a=4{,}5 \Rightarrow intervalo 4{,}5 a 4{,}7 — nenhum inteiro.
    • a=4:\; 1{,}5a=6{,}0 \Rightarrow intervalo 6{,}0 a 6{,}2 — permite c=6.
    • a=5:\; 1{,}5a=7{,}5 \Rightarrow intervalo 7{,}5 a 7{,}7 — nenhum inteiro.
    • a\ge 6:\; 1{,}5a\ge9{,}0 que já ultrapassa o máximo c=8, portanto não são possíveis.
  • Assim, somente a=2 com c=3 e a=4 com c=6 são candidatos. Vou calcular então b em cada caso usando b=40c-60a.

Passo 5

Calculo b e verifico se está no intervalo permitido.
  • Caso 1: a=2, c=3.
    b = 40\cdot 3 - 60\cdot 2 = 120 - 120 = 0.
    Verificação: b=0 está em \{0,\dots,8\}. OK.
  • Caso 2: a=4, c=6.
    b = 40\cdot 6 - 60\cdot 4 = 240 - 240 = 0.
    Verificação: b=0 também está em \{0,\dots,8\}. OK.
Portanto há duas soluções em termos dos dígitos (a,b,c): (2,0,3) e (4,0,6).

Passo 6

Agora faço a conversão para conferir explicitamente (e mostrar como verificar na prova).
  • Para \overline{203}_{11}:
    N = 2\cdot 11^2 + 0\cdot 11 + 3 = 2\cdot 121 + 3 = 242 + 3 = 245.
    Escrito em base 9 como \overline{302}_9 vale
    3\cdot 9^2 + 0\cdot 9 + 2 = 3\cdot 81 + 2 = 243 + 2 = 245,
    que é o mesmo N. Está confirmado.
  • Para \overline{406}_{11}:
    N = 4\cdot 11^2 + 0\cdot 11 + 6 = 4\cdot 121 + 6 = 484 + 6 = 490.
    Escrito em base 9 como \overline{604}_9 vale
    6\cdot 9^2 + 0\cdot 9 + 4 = 6\cdot 81 + 4 = 486 + 4 = 490,
    também confirmado.
Ambas as escritas em base 11 são de três dígitos (com a\neq0), e em base 9 aparecem com os dígitos invertidos.

Resposta

\overline{203}_{11} = 245
\overline{406}_{11} = 490

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