Um número de três dígitos em base 11 é tal que quando escrito em base 9 , tem sua ordem invertida. Determine o número.
Passo 1
O enunciado diz que existe um número de três dígitos escrito em base 11 cuja escrita em base 9 tem os dígitos na ordem invertida. Vou listar claramente o que isso significa e as informações que temos.
Seja o número, em base 11, representado por \overline{abc}_{11}, em que a, b e c são os dígitos (cada um é um inteiro).
Em base 11 os dígitos válidos vão de 0 a 10. Como é um número de três dígitos, temos a\neq0.
A afirmação “quando escrito em base 9, tem sua ordem invertida” quer dizer que o mesmo número, escrito em base 9, é \overline{cba}_9. Ou seja, os dígitos aparecem na ordem inversa.
Em base 9 os dígitos válidos são 0 a 8. Como os dígitos na base 9 são c, b, a (os mesmos símbolos numéricos), isso implica necessariamente quea,b,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\} \quad\text{e}\quad a\ne0.
O que o problema pede: determinar todos os números que satisfazem essa propriedade (ou seja, encontrar a,b,c e, se quiser, o valor decimal do número).
Passo 2
Vou traduzir as duas escritas para a forma de valor decimal (soma ponderada pelos valores posicional). Isso é a base do raciocínio.
Em qualquer base m, o número de três dígitos \overline{xyz}_m corresponde ao valor
x\cdot m^2 + y\cdot m + z.
Aqui x,y,z são os dígitos e cada termo corresponde à contribuição das posições centenas, dezenas e unidades na base m.
Aplicando isso ao nosso caso:
O valor do número quando escrito em base 11 éN = a\cdot 11^2 + b\cdot 11 + c.
O mesmo número, quando escrito em base 9 como \overline{cba}_9, tem valorN = c\cdot 9^2 + b\cdot 9 + a.
Igualando as duas expressões (pois representam o mesmo N), obtemos a equação que vai governar a,b,c:
a\cdot 11^2 + b\cdot 11 + c = c\cdot 9^2 + b\cdot 9 + a.
Passo 3
Vou manipular a equação para obter uma relação mais simples entre a,b,c.
Desenvolvendo os quadrados e agrupando termos:121a + 11b + c = 81c + 9b + a.
Colocando todos os termos no lado esquerdo:121a - a + 11b - 9b + c - 81c = 0.
Simplificando cada diferença:120a + 2b - 80c = 0.
Dividindo ambos os lados por 2 (para simplificar):60a + b - 40c = 0.
Isolando b:b = 40c - 60a.
Esta é uma fórmula direta para b em função de a e c. Lembre-se: a,b,c são inteiros com 1\le a\le 8 e 0\le b,c\le 8.
Passo 4
Agora uso os limites admissíveis para b para restringir a e c.
Como b deve satisfazer 0\le b\le 8, substituindo a expressão temos:
0 \le 40c - 60a \le 8.
Essa desigualdade pode ser escrita como duas partes. Primeiro,
Observe que o intervalo tem largura 0{,}2, ou seja, muito estreito: para cada a há no máximo um inteiro c possível, e esse inteiro só existe quando 1{,}5a está muito próximo de um inteiro (dentro de 0{,}2).
Como a deve ser um inteiro entre 1 e 8, calculo 1{,}5a para a=1,\dots,8 e verifico se existe um inteiro c no intervalo:
a=1:\; 1{,}5a=1{,}5\Rightarrow intervalo 1{,}5 a 1{,}7 — nenhum inteiro.
a=2:\; 1{,}5a=3{,}0\Rightarrow intervalo 3{,}0 a 3{,}2 — permite c=3.
a=3:\; 1{,}5a=4{,}5\Rightarrow intervalo 4{,}5 a 4{,}7 — nenhum inteiro.
a=4:\; 1{,}5a=6{,}0\Rightarrow intervalo 6{,}0 a 6{,}2 — permite c=6.
a=5:\; 1{,}5a=7{,}5\Rightarrow intervalo 7{,}5 a 7{,}7 — nenhum inteiro.
a\ge 6:\; 1{,}5a\ge9{,}0 que já ultrapassa o máximo c=8, portanto não são possíveis.
Assim, somente a=2 com c=3 e a=4 com c=6 são candidatos. Vou calcular então b em cada caso usando b=40c-60a.
Passo 5
Calculo b e verifico se está no intervalo permitido.
Caso 1: a=2, c=3.
b = 40\cdot 3 - 60\cdot 2 = 120 - 120 = 0.
Verificação: b=0 está em \{0,\dots,8\}. OK.
Caso 2: a=4, c=6.
b = 40\cdot 6 - 60\cdot 4 = 240 - 240 = 0.
Verificação: b=0 também está em \{0,\dots,8\}. OK.
Portanto há duas soluções em termos dos dígitos (a,b,c): (2,0,3) e (4,0,6).
Passo 6
Agora faço a conversão para conferir explicitamente (e mostrar como verificar na prova).