Para quais números a, b, c e d a função
f(x)=a x+bc x+d
satisfará a relação f(f(x))=x para todo x ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que parece um fraquinho: $ f(x) = \frac{a x + b}{c x + d} $. O exercício quer saber para quais números $ a, b, c $ e $ d $ essa função satisfaz a relação $ f(f(x)) = x $ para todo $ x $. Isso significa que, se a gente aplicar a função duas vezes seguidas, o resultado volta a ser o próprio $ x $. Vamos usar conhecimentos de funções e composição de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f(f(x)) = x $. Isso quer dizer que se a gente calcular $ f $ de $ f(x) $, o resultado deve ser igual a $ x $. Para encontrar isso, precisamos calcular $ f(f(x)) $.

Passo 3

Vamos calcular $ f(f(x)) $. Começamos substituindo $ f(x) $ na função $ f $:
f(f(x))

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos multiplicar o numerador e o denominador para eliminar as frações:
f(f(x)) = a(a x + b)c x + d + bc(a x + b)c x + d + d = a(a x + b) + b(c x + d)c x + dc(a x + b) + d(c x + d)c x + d

Passo 5

Como o denominador é o mesmo em cima e embaixo, podemos simplificar:
f(f(x)) = a(a x + b) + b(c x + d)c(a x + b) + d(c x + d)

Passo 6

Vamos expandir os termos:
Numerador = a(a x + b) + b(c x + d) = a^2 x + a b + b c x + b d = (a^2 + b c) x + a b + b d
Denominador = c(a x + b) + d(c x + d) = a c x + b c + c d x + d^2 = (a c + c d) x + b c + d^2

Passo 7

Então, temos:
f(f(x)) = (a^2 + b c) x + a b + b d(a c + c d) x + b c + d^2

Passo 8

Queremos que $ f(f(x)) = x $. Isso significa que:
f(f(x)) = x

Passo 9

Para essa igualdade ser verdadeira para todo $ x $, os coeficientes devem ser iguais. Vamos igualar as partes correspondentes:
x
Coeficiente de x: a^2 + b c = a c + c d

Passo 10

Vamos resolver essas equações:
  1. $ a^2 + b c = a c + c d $
  2. $ a b + b d = 0 $
  3. Além disso, para evitar divisão por zero na função original, $ c x + d \neq 0 $.

Passo 11

Da equação 2: $ a b + b d = b(a + d) = 0 $
Isso significa que ou $ b = 0 $ ou $ a + d = 0 $.

Passo 12

Vamos considerar os dois casos:
Caso 1: $ b = 0 $
  • A equação 1 fica: $ a^2 = a c + c d $
  • Pode-se reescrever como $ a^2 = c(a + d) $
  • Se $ a + d = 0 $, teríamos $ d = -a $, mas estamos no caso $ b = 0 $, então precisa verificar se isso satisfaz a equação.
Caso 2: $ a + d = 0 $
  • Então $ d = -a $
  • Substituindo na equação 1: $ a^2 + b c = a c + c(-a) $ → $ a^2 + b c = 0 $
  • E na equação 2, $ a b + b d = b(a + d) = b \cdot 0 = 0 $, que já é satisfeito.

Passo 13

No Caso 2, onde $ d = -a $ e $ a^2 + b c = 0 $, temos as condições necessárias.

Passo 14

Portanto, as funções que satisfazem $ f(f(x)) = x $ são aquelas onde:
f(f(x)) = x

Resposta

Os números $ a, b, c $ e $ d $ devem satisfazer $ d = -a $ e $ a^2 + b c = 0 $. Assim, para que a função $ f(x) = \frac{a x + b}{c x + d} $ satisfaça $ f(f(x)) = x $ para todo $ x $, é necessário que $ d = -a $ e $ a^2 + b c = 0 $.

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