Para quais números
e
a função
satisfará a relação
para todo
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que parece um fraquinho: $ f(x) = \frac{a x + b}{c x + d} $. O exercício quer saber para quais números $ a, b, c $ e $ d $ essa função satisfaz a relação $ f(f(x)) = x $ para todo $ x $. Isso significa que, se a gente aplicar a função duas vezes seguidas, o resultado volta a ser o próprio $ x $. Vamos usar conhecimentos de funções e composição de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ f(f(x)) = x $. Isso quer dizer que se a gente calcular $ f $ de $ f(x) $, o resultado deve ser igual a $ x $. Para encontrar isso, precisamos calcular $ f(f(x)) $.
Passo 3
Vamos calcular $ f(f(x)) $. Começamos substituindo $ f(x) $ na função $ f $:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos multiplicar o numerador e o denominador para eliminar as frações:
Passo 5
Como o denominador é o mesmo em cima e embaixo, podemos simplificar:
Passo 6
Vamos expandir os termos:
Passo 7
Então, temos:
Passo 8
Queremos que $ f(f(x)) = x $. Isso significa que:
Passo 9
Para essa igualdade ser verdadeira para todo $ x $, os coeficientes devem ser iguais. Vamos igualar as partes correspondentes:
Passo 10
Vamos resolver essas equações:
- $ a^2 + b c = a c + c d $
- $ a b + b d = 0 $
- Além disso, para evitar divisão por zero na função original, $ c x + d \neq 0 $.
Passo 11
Da equação 2: $ a b + b d = b(a + d) = 0 $
Isso significa que ou $ b = 0 $ ou $ a + d = 0 $.
Passo 12
Vamos considerar os dois casos:
Caso 1: $ b = 0 $
- A equação 1 fica: $ a^2 = a c + c d $
- Pode-se reescrever como $ a^2 = c(a + d) $
- Se $ a + d = 0 $, teríamos $ d = -a $, mas estamos no caso $ b = 0 $, então precisa verificar se isso satisfaz a equação.
Caso 2: $ a + d = 0 $
- Então $ d = -a $
- Substituindo na equação 1: $ a^2 + b c = a c + c(-a) $ → $ a^2 + b c = 0 $
- E na equação 2, $ a b + b d = b(a + d) = b \cdot 0 = 0 $, que já é satisfeito.
Passo 13
No Caso 2, onde $ d = -a $ e $ a^2 + b c = 0 $, temos as condições necessárias.
Passo 14
Portanto, as funções que satisfazem $ f(f(x)) = x $ são aquelas onde:
Resposta
Os números $ a, b, c $ e $ d $ devem satisfazer $ d = -a $ e $ a^2 + b c = 0 $. Assim, para que a função $ f(x) = \frac{a x + b}{c x + d} $ satisfaça $ f(f(x)) = x $ para todo $ x $, é necessário que $ d = -a $ e $ a^2 + b c = 0 $.