Nos items a seguir, esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das funções dadas e encontre seu volume.
Passo 1
Resumo e conteúdo: Temos um sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies z = x³ (parte superior), z = 0 (plano xy) e pelas duas curvas verticais x = 4 y² e x² = 16 y que definem o contorno em (x,y). Para calcular o volume vamos usar a ideia de integral tripla e projeção da região no plano xy.
Passo 2
Projeção no plano xy: Projetando o sólido em (x,y) obtemos a região D limitada pelas curvas
e
Como estamos no primeiro octante, y ≥ 0. Igualando 4 y² = 4√y resulta y = 0 ou y = 1. Logo y varia de 0 até 1 e, para cada y, x varia de 4 y² até 4√y.
Passo 3
Montagem da integral tripla: O volume é
Usando a projeção D, escrevemos
Aqui aplicamos a interpretação de fatias: para cada (x,y) em D, z vai de 0 até x³.
Passo 4
Integração em z e em x: Primeiro integramos em z, que é trivial:
Em seguida integramos em x:
Então o volume fica reduzido a uma integral simples em y:
Passo 5
Integração em y e resultado final: Agora integramos em y
Resposta
O volume do sólido é
.