Nos items a seguir, esboce o sólido no primeiro octante limitado pelos gráficos das funções dadas e encontre seu volume.
z=x^3, x=4 y^2, 16 y=x^2, z=0

Passo 1

Resumo e conteúdo: Temos um sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies z = x³ (parte superior), z = 0 (plano xy) e pelas duas curvas verticais x = 4 y² e x² = 16 y que definem o contorno em (x,y). Para calcular o volume vamos usar a ideia de integral tripla e projeção da região no plano xy.

Passo 2

Projeção no plano xy: Projetando o sólido em (x,y) obtemos a região D limitada pelas curvas
x = 4 y^2
e
x^2 = 16 y implies x = 4 raizy
Como estamos no primeiro octante, y ≥ 0. Igualando 4 y² = 4√y resulta y = 0 ou y = 1. Logo y varia de 0 até 1 e, para cada y, x varia de 4 y² até 4√y.

Passo 3

Montagem da integral tripla: O volume é
V = integral triplasólido dV ó
Usando a projeção D, escrevemos
V = integraly=0^1 integralx=4y^2^4raizy integralz=0^x^3 dz,dx,dy
Aqui aplicamos a interpretação de fatias: para cada (x,y) em D, z vai de 0 até x³.

Passo 4

Integração em z e em x: Primeiro integramos em z, que é trivial:
integral0^x^3 dz = x^3
Em seguida integramos em x:
integral4y^2^4raizy x^3 ,dx = l[x^44r]x=4y^2^x=4raizy = (4raizy)^4 - (4y^2)^44 = 64l(y^2 - y^8r)
Então o volume fica reduzido a uma integral simples em y:

Passo 5

Integração em y e resultado final: Agora integramos em y
V = integral0^1 64l(y^2 - y^8r) ,dy = 64l[y^33 - y^99r]0^1 = 64l(13 - 19r) = 64 cdot 29 = 1289

Resposta

O volume do sólido é 1289.

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