Em quais números a função
é diferenciável?
Dado:
Passo 1
Temos a função
O conteúdo aqui é diferenciabilidade de função definida por partes. Para saber onde e
.
Passo 2
Em cada intervalo aberto a função é polinomial ou linear, portanto diferenciável. Suas derivadas são:
Logo
g é diferenciável em todos os pontos de
(-infty,-1) ,
(-1,1) e
(1,infty) .
Passo 3
Analisando
x=-1 :
Como
g(-1^-)neq g(-1) ,
g é descontínua em
-1 e, portanto, não diferenciável em
x=-1 .
Passo 4
Analisando
x=1 :
Continuidade:
Continuidade:
logo
g é contínua em
x=1 .
Derivadas laterais:
Derivadas laterais:
Como
g'-(1)neq g'+(1) ,
g não é diferenciável em
x=1 .
Resposta
A função
g é diferenciável para todos os
x tais que