Em quais números a função g(x) é diferenciável?
Dado: g(x)=l1-2 x, se x<-1 x^2, se -1 <= x <= 1 x, x>1

Passo 1

Temos a função
O conteúdo aqui é diferenciabilidade de função definida por partes. Para saber onde e .

Passo 2

Em cada intervalo aberto a função é polinomial ou linear, portanto diferenciável. Suas derivadas são:
g'(x)= -2, & x< -1, 2x, & -1<x<1, 1, & x>1
Logo g é diferenciável em todos os pontos de (-infty,-1), (-1,1) e (1,infty).

Passo 3

Analisando x=-1:
g(-1^-)=1-2(-1)=3, g(-1)=(-1)^2=1, g(-1^+)=1
Como g(-1^-)neq g(-1), g é descontínua em -1 e, portanto, não diferenciável em x=-1.

Passo 4

Analisando x=1:
Continuidade:
g(1^-)=1^2=1, g(1^+)=1,
logo g é contínua em x=1.
Derivadas laterais:
g'-(1)=limxto1^-2x=2, g'+(1)=limxto1^+1=1
Como g'-(1)neq g'+(1), g não é diferenciável em x=1.

Resposta

A função g é diferenciável para todos os x tais que
xneq -1,;xneq1

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