Mostre que o elemento neutro da multiplicação 1 in Z é único.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no conjunto dos inteiros Z com a operação de multiplicação, o elemento neutro (denotado por 1) é único. O conteúdo aqui é a definição de elemento neutro em uma operação binária e um argumento de unicidade baseado nessa definição.

Passo 2

Lembrando a definição: um elemento einZ é neutro para a multiplicação se, para todo ainZ, vale
ecdot a = a e acdot e = a

Passo 3

Suponha, por absurdo, que existam dois elementos neutros distintos para a multiplicação em Z, digamos e e f. Então, por serem neutros, têm-se simultaneamente
ecdot f = f (pois (e) é neutro) é
e
ecdot f = e (pois (f) é neutro) é

Passo 4

Das duas igualdades acima concluímos
e = ecdot f = f
Ou seja, e e f não podem ser distintos.

Resposta

O elemento neutro da multiplicação em Z é único.

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