1. ln |x|=e^y / x-1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
ln|x| = e^y/x - 1
e pede a derivada y'= dydx. O conteúdo é diferenciação implícita, usando a regra da cadeia e a derivada de ln|x| e de e^u.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. À esquerda,
ddxl(ln|x|r)=1x
À direita,
ddxl(e^y/x-1r) = e^y/x,ddxl(tfracyxr)

Passo 3

Agora calculamos ddx(y/x). Como é quociente,
ddxl(yxr) =x,dydx - ycdot1x^2 =x,y' - yx^2

Passo 4

Substituindo na derivada da direita, obtemos
1x = e^y/x,x,y' - yx^2
Multiplicando ambos os lados por x^2:
x = e^y/xl(x,y' - yr)
Então
x,y' - y = x,e^-y/x Longrightarrow x,y' = y + x,e^-y/x

Passo 5

Isolando y':
y' = yx + e^-y/x

Resposta

dydx = yx + e^-y/x

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