Em quais números as seguintes funções são diferenciáveis?
f(x)=ll3-x & se x <= 1 2 x^2-2 x+2 & ,se x>1

Passo 1

A questão apresenta a função por partes
f(x)=3-x,&x<=12x^2-2x+2,&x>1
e pede para identificar onde ela é diferenciável. O conteúdo principal aqui é diferenciabilidade de funções definidas por partes, exigindo verificar derivadas em cada ramo e em pontos de ligação.

Passo 2

Cada expressão é um polinômio ( 3-x e 2x^2-2x+2), e polinômios são diferenciáveis em todo o domínio real. Logo, em (1,infty) e em a função já é diferenciável.

Passo 3

No ponto de ligação x=1, primeiro testamos continuidade. Calculamos:
f(1^-) = 3 - 1 = 2
f(1^+) = 2cdot1^2 - 2cdot1 + 2 = 2 - 2 + 2 = 2
Como f(1^-) = f(1^+) = 2, a função é contínua em x=1.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas laterais em x=1:
Derivada do ramo esquerdo ( x<=1):
f'-(1) = ddx(3-x)g|x=1 = -1
Derivada do ramo direito ( x>1):
f'+(1) = ddx(2x^2 - 2x + 2)g|x=1 = 4cdot1 - 2 = 2
Como f'-(1) = -1 neq 2 = f'+(1), a derivada não coincide em x=1.

Passo 5

Portanto, não há diferenciabilidade em x=1, mas em todos os outros pontos (dentro de cada ramo) a função é diferenciável.

Resposta

A função é diferenciável para todo xin(-infty,1)cup(1,infty), ou seja, para todo xneq1.

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