(Nussenzveig 10.19) Considere um sistema digital que armazena dados em uma memória estática na forma de bits. Cada célula de memória pode assumir o valor \mathbf{0} ou \mathbf{1}, com probabilidades p e 1-p, respectivamente. A incerteza associada ao estado de cada bit é dada pela entropia de Shannon:
H=-p \log _{2} p-(1-p) \log _{2}(1-p)
Suponha agora que esse sistema opera acoplado a um processador que deve realizar a limpeza (reset) de um bloco contendo 10^{9} bits. De acordo com o princípio de Landauer, apagar um bit de informação implica uma variação mínima de entropia física dada por:
\Delta S \geq k \ln 2
onde k é a constante de Boltzmann.
(a) Calcule a entropia informacional H de um bit quando p=0,5.
(b) Determine a energia mínima teórica necessária para apagar 10^{9} bits a uma temperatura ambiente
de
T=300 \mathrm{~K} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece as seguintes informações:
  • Cada célula de memória armazena um bit que vale \mathbf{0} com probabilidade p e \mathbf{1} com probabilidade 1-p.
  • A entropia de Shannon de um bit é dada por
H = -p \log_{2} p - (1-p)\log_{2}(1-p).
  • Pelo princípio de Landauer, apagar um bit implica uma variação mínima de entropia física
\Delta S \geq k \ln 2,
onde k é a constante de Boltzmann.
  • O bloco a ser apagado tem 10^{9} bits.
  • Temperatura ambiente T = 300\\ \mathrm{K}.
As perguntas são:
(a) Calcular a entropia informacional H de um bit quando p=0{,}5.
(b) Determinar a energia mínima teórica necessária para apagar 10^{9} bits à temperatura T=300\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Entendendo e calculando a parte (a). Vou explicar a fórmula passo a passo:
  • A entropia de Shannon H mede a incerteza (em bits) sobre o valor do bit. Se p é a probabilidade de \mathbf{0}, então \log_{2} p é o logaritmo de p na base 2.
  • Para p=0{,}5 temos 1-p=0{,}5 também. Substituímos na fórmula:
H = -0{,}5\log_{2}(0{,}5) - 0{,}5\log_{2}(0{,}5).
  • Usamos que \log_{2}(0{,}5)=\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-1. Então cada termo -0{,}5\log_{2}(0{,}5) vale -0{,}5\times(-1)=0{,}5.
  • Somando os dois termos:
H = 0{,}5 + 0{,}5 = 1.
Interpretação: para p=0{,}5 o bit é totalmente incerto (máxima incerteza) e a entropia é 1 bit.

Passo 3

Preparando a parte (b): relação entre entropia física e energia mínima de apagamento.
  • Pelo princípio de Landauer, ao apagar um bit (reduzir a informação/estado lógico a um único estado conhecido) há um aumento de entropia física no reservatório térmico de pelo menos \Delta S \geq k \ln 2.
  • Em termodinâmica, a menor quantidade de calor dissipado em um processo que aumenta a entropia \Delta S a temperatura T é Q \geq T\Delta S. Assim a energia mínima (calor mínimo) a ser dissipada por bit é
E_{\text{bit}} \geq k T \ln 2.
  • Para apagar N bits de forma independente, a energia mínima teórica total é
E_{\text{total}} \geq N \, k T \ln 2.

Passo 4

Agora calculemos numericamente E_{\text{bit}} com valores numéricos:
  • Valor da constante de Boltzmann em SI: k = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Temperatura T = 300\\ \mathrm{K}.
  • Constante \ln 2 \approx 0{,}69314718056.
Calcule kT:
kT = \bigl(1{,}380649\times10^{-23}\bigr)\times 300 = 4{,}141947\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Multiplicando por \ln 2 para obter a energia por bit:
E_{\text{bit}} = kT\ln 2 \approx \bigl(4{,}141947\times10^{-21}\bigr)\times 0{,}69314718056 \approx 2{,}87\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Energia mínima para apagar 10^{9} bits:
  • N = 10^{9}.
E_{\text{total}} = N E_{\text{bit}} \approx 10^{9}\times 2{,}87\times10^{-21}\\ \mathrm{J} = 2{,}87\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para unidades mais intuitivas: 1\\ \mathrm{pJ}=10^{-12}\\ \mathrm{J}, então
E_{\text{total}} \approx 2{,}87\\ \mathrm{pJ}.

Passo 6

Resumo físico-intuitivo rápido (motivacional): para um bit totalmente incerto ( p=0{,}5) a informação é 1 bit, e o limite termodinâmico de apagar 10^{9} desses bits à temperatura ambiente é da ordem de alguns picojoules — extremamente pequeno, mas fundamental como limite teórico. Você já está mais perto de entender como informação e termodinâmica se conectam — segure essa confiança, estamos indo bem!

Resposta

(a) H = 1 bit
(b) E_{\text{mín}} \approx 2{,}87\times10^{-12}\\ \mathrm{J}í (ou 2{,}87\\ \mathrm{pJ})

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