(Nussenzveig 10.19) Considere um sistema digital que armazena dados em uma memória estática na forma de bits. Cada célula de memória pode assumir o valor
ou
, com probabilidades
e
, respectivamente. A incerteza associada ao estado de cada bit é dada pela entropia de Shannon:
Suponha agora que esse sistema opera acoplado a um processador que deve realizar a limpeza (reset) de um bloco contendo
bits. De acordo com o princípio de Landauer, apagar um bit de informação implica uma variação mínima de entropia física dada por:
onde
é a constante de Boltzmann.
(a) Calcule a entropia informacional
de um bit quando
.
(b) Determine a energia mínima teórica necessária para apagar
bits a uma temperatura ambiente
de
(a) Calcule a entropia informacional
(b) Determine a energia mínima teórica necessária para apagar
de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece as seguintes informações:
- Cada célula de memória armazena um bit que vale
com probabilidade e com probabilidade . - A entropia de Shannon de um bit é dada por
- Pelo princípio de Landauer, apagar um bit implica uma variação mínima de entropia física
onde
é a constante de Boltzmann.
- O bloco a ser apagado tem
bits. - Temperatura ambiente
.
As perguntas são:
(a) Calcular a entropia informacional de um bit quando
.
(b) Determinar a energia mínima teórica necessária para apagar bits à temperatura
.
(a) Calcular a entropia informacional
(b) Determinar a energia mínima teórica necessária para apagar
Passo 2
Entendendo e calculando a parte (a). Vou explicar a fórmula passo a passo:
- A entropia de Shannon
mede a incerteza (em bits) sobre o valor do bit. Se é a probabilidade de , então é o logaritmo de na base 2. - Para
temos também. Substituímos na fórmula:
- Usamos que
. Então cada termo vale . - Somando os dois termos:
Interpretação: para
o bit é totalmente incerto (máxima incerteza) e a entropia é
bit.
Passo 3
Preparando a parte (b): relação entre entropia física e energia mínima de apagamento.
- Pelo princípio de Landauer, ao apagar um bit (reduzir a informação/estado lógico a um único estado conhecido) há um aumento de entropia física no reservatório térmico de pelo menos
. - Em termodinâmica, a menor quantidade de calor dissipado em um processo que aumenta a entropia
a temperatura é . Assim a energia mínima (calor mínimo) a ser dissipada por bit é
- Para apagar
bits de forma independente, a energia mínima teórica total é
Passo 4
Agora calculemos numericamente
com valores numéricos:
- Valor da constante de Boltzmann em SI:
. - Temperatura
. - Constante
.
Calcule
:
Multiplicando por
para obter a energia por bit:
Passo 5
Energia mínima para apagar
bits:
-
.
Convertendo para unidades mais intuitivas:
, então
Passo 6
Resumo físico-intuitivo rápido (motivacional): para um bit totalmente incerto (
) a informação é
bit, e o limite termodinâmico de apagar
desses bits à temperatura ambiente é da ordem de alguns picojoules — extremamente pequeno, mas fundamental como limite teórico. Você já está mais perto de entender como informação e termodinâmica se conectam — segure essa confiança, estamos indo bem!
Resposta
(a)
bit
(b) (ou
)
(b)