O potencial elétrico imediatamente fora de uma esfera condutora carregada é de 200 V e , a
do centro da esfera, o potencial é de 150 V . Determine (a) o raio da esfera e (b) sua carga. O potencial elétrico imediatamente fora de outra esfera condutora carregada é de 210 V e, a
do centro, o módulo do campo elétrico é de 400
. Determine (c) o raio da esfera e (d) sua carga. (e) As respostas das partes (c) e (d) são únicas?
Passo 1
O enunciado consiste em dois problemas separados sobre esferas condutoras carregadas. Vou listar claramente o que cada parte dá e o que pede:
Para a primeira esfera (partes (a) e (b)):
- Dado: o potencial elétrico imediatamente fora da esfera é
. Isto significa que no raio da esfera temos . - Dado: o potencial a
do centro é . Ou seja, . - Pedidos: (a) determinar o raio
da esfera; (b) determinar a carga da esfera.
Para a segunda esfera (partes (c) e (d)):
- Dado: o potencial elétrico imediatamente fora da esfera é
. Ou seja, . - Dado: a
do centro, o módulo do campo elétrico é . Ou seja, . - Pedidos: (c) determinar o raio
da esfera; (d) determinar a carga da esfera. - Pergunta extra (e): as respostas das partes (c) e (d) são únicas?
Nenhuma outra informação ou figura foi dada. Vou usar apenas esses dados para resolver.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que precisamos (aulas rápidas e intuitivas):
- Fora de uma esfera condutora carregada, o campo elétrico e o potencial são exatamente os mesmos de uma carga pontual
situada no centro. Isso vale para qualquer ponto com , onde é o raio da esfera. - O potencial elétrico a uma distância
do centro (fora da esfera) é dado por
onde:
-
é o potencial em volts (V) no ponto a distância , -
é a carga total da esfera em coulombs (C), -
é a constante eletrostática . - O módulo do campo elétrico fora da esfera é
- “Imediatamente fora” significa que avaliamos as expressões em
(no lado externo da superfície condutora).
Essas fórmulas nos permitem escrever equações relacionando, , e e resolver para as incógnitas.
Passo 3
Resolver (a) e (b): montar as equações usando os dados da primeira esfera.
Dados:
Usando
obtemos as duas equações:
Podemos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar
:
O lado esquerdo simplifica para
. Assim
Passo 4
Continuando (a): resolver para
.
Da igualdade
temos
Convertendo para centímetros:
Este é o raio da esfera na parte (a).
Passo 5
Agora (b): determinar
usando
.
Usamos
Substituindo
,
e
:
Fazendo a divisão:
O sinal positivo vem do fato de o potencial ser positivo (presumimos carga positiva).
Passo 6
Resolver (c) e (d): montar as equações para a segunda esfera.
Dados:
Usando as fórmulas:
A segunda equação nos dá diretamente
. Calculemos.
Passo 7
Calcular
a partir do campo em
:
Portanto
(unidade: V·m).
Passo 8
Determinar (c) o raio
usando
:
Fazendo a divisão:
Convertendo para centímetros:
Passo 9
Determinar (d) a carga
da segunda esfera.
Sabemos
. Assim
Fazendo a divisão:
Novamente sinal positivo (potencial positivo e campo apontando para fora) indica carga positiva.
Passo 10
Responder (e): unicidade das respostas (c) e (d).
As equações usadas para a segunda esfera foram
A segunda equação determina o produto
unicamente; substituindo em
determina
unicamente. Portanto, com os dados fornecidos (valor do potencial em
e o módulo do campo em
), os valores de
e
ficam determinados de maneira única (considerando sinais: o sinal da carga é fixado pelo sinal do potencial e pela direção do campo). Se só tivéssemos magnitudes sem sinais, haveria ambiguidade de sinal da carga; mas com os dados numéricos fornecidos aqui as respostas são únicas.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d) \n
(e) Sim — os valores de e
são determinados de forma única pelos dados fornecidos.
(b)
(c)
(d)
(e) Sim — os valores de