O potencial elétrico imediatamente fora de uma esfera condutora carregada é de 200 V e , a 10,0 \mathrm{~cm} do centro da esfera, o potencial é de 150 V . Determine (a) o raio da esfera e (b) sua carga. O potencial elétrico imediatamente fora de outra esfera condutora carregada é de 210 V e, a 10,0 \mathrm{~cm} do centro, o módulo do campo elétrico é de 400 \mathrm{V} / \mathrm{m}. Determine (c) o raio da esfera e (d) sua carga. (e) As respostas das partes (c) e (d) são únicas?

Passo 1

O enunciado consiste em dois problemas separados sobre esferas condutoras carregadas. Vou listar claramente o que cada parte dá e o que pede:
Para a primeira esfera (partes (a) e (b)):
  • Dado: o potencial elétrico imediatamente fora da esfera é 200\\ \mathrm{V}. Isto significa que no raio da esfera r=a temos V(a)=200\\ \mathrm{V}.
  • Dado: o potencial a 10{,}0\\ \mathrm{cm} do centro é 150\\ \mathrm{V}. Ou seja, V(0{,}10\\ \mathrm{m})=150\\ \mathrm{V}.
  • Pedidos: (a) determinar o raio a da esfera; (b) determinar a carga Q da esfera.
Para a segunda esfera (partes (c) e (d)):
  • Dado: o potencial elétrico imediatamente fora da esfera é 210\\ \mathrm{V}. Ou seja, V(a)=210\\ \mathrm{V}.
  • Dado: a 10{,}0\\ \mathrm{cm} do centro, o módulo do campo elétrico é 400\\ \mathrm{V/m}. Ou seja, |E(0{,}10\\ \mathrm{m})|=400\\ \mathrm{V/m}.
  • Pedidos: (c) determinar o raio a da esfera; (d) determinar a carga Q da esfera.
  • Pergunta extra (e): as respostas das partes (c) e (d) são únicas?
Nenhuma outra informação ou figura foi dada. Vou usar apenas esses dados para resolver.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que precisamos (aulas rápidas e intuitivas):
  • Fora de uma esfera condutora carregada, o campo elétrico e o potencial são exatamente os mesmos de uma carga pontual Q situada no centro. Isso vale para qualquer ponto com r\ge a, onde a é o raio da esfera.
  • O potencial elétrico a uma distância r do centro (fora da esfera) é dado por
V(r)=\frac{kQ}{r},
onde:
  • V(r) é o potencial em volts (V) no ponto a distância r,
  • Q é a carga total da esfera em coulombs (C),
  • k é a constante eletrostática k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}99\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
  • O módulo do campo elétrico fora da esfera é
E(r)=\frac{kQ}{r^{2}}.
  • “Imediatamente fora” significa que avaliamos as expressões em r=a (no lado externo da superfície condutora).
    Essas fórmulas nos permitem escrever equações relacionando V, E, Q e a e resolver para as incógnitas.

Passo 3

Resolver (a) e (b): montar as equações usando os dados da primeira esfera.
Dados:
V(a)=200\\ \mathrm{V},\qquad V(0{,}10\\ \mathrm{m})=150\\ \mathrm{V}.
Usando V(r)=\dfrac{kQ}{r} obtemos as duas equações:
\frac{kQ}{a}=200,
\frac{kQ}{0{,}10}=150.
Podemos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar kQ:
\frac{\dfrac{kQ}{a}}{\dfrac{kQ}{0{,}10}}=\frac{200}{150}.
O lado esquerdo simplifica para \dfrac{0{,}10}{a}. Assim
\frac{0{,}10}{a}=\frac{200}{150}=\frac{4}{3}.

Passo 4

Continuando (a): resolver para a.
Da igualdade
\frac{0{,}10}{a}=\frac{4}{3}
temos
a=0{,}10\cdot\frac{3}{4}=0{,}10\cdot 0{,}75=0{,}075\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
a=0{,}075\\ \mathrm{m}=7{,}50\\ \mathrm{cm}.
Este é o raio da esfera na parte (a).

Passo 5

Agora (b): determinar Q usando V(a)=200\\ \mathrm{V}.
Usamos
V(a)=\frac{kQ}{a}\quad\Rightarrow\quad Q=\frac{a\,V(a)}{k}.
Substituindo a=0{,}075\\ \mathrm{m}, V(a)=200\\ \mathrm{V} e k=8{,}99\times10^{9}:
Q=\frac{0{,}075\times 200}{8{,}99\times10^{9}}=\frac{15}{8{,}99\times10^{9}}\\ \mathrm{C}.
Fazendo a divisão:
Q\approx 1{,}67\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
O sinal positivo vem do fato de o potencial ser positivo (presumimos carga positiva).

Passo 6

Resolver (c) e (d): montar as equações para a segunda esfera.
Dados:
V(a)=210\\ \mathrm{V},\qquad |E(0{,}10\\ \mathrm{m})|=400\\ \mathrm{V/m}.
Usando as fórmulas:
\frac{kQ}{a}=210,
\frac{kQ}{(0{,}10)^{2}}=400.
A segunda equação nos dá diretamente kQ. Calculemos.

Passo 7

Calcular kQ a partir do campo em r=0{,}10\\ \mathrm{m}:
\frac{kQ}{(0{,}10)^{2}}=400\quad\Rightarrow\quad kQ=400\times(0{,}10)^{2}=400\times0{,}01=4{,}0.
Portanto kQ=4{,}0 (unidade: V·m).

Passo 8

Determinar (c) o raio a usando V(a)=210\\ \mathrm{V}:
\frac{kQ}{a}=210\quad\Rightarrow\quad a=\frac{kQ}{210}=\frac{4{,}0}{210}.
Fazendo a divisão:
a=\frac{4{,}0}{210}\\ \mathrm{m}=0{,}0190476\ldots\\ \mathrm{m}\approx 0{,}01905\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
a\approx 1{,}90\\ \mathrm{cm}.

Passo 9

Determinar (d) a carga Q da segunda esfera.
Sabemos kQ=4{,}0. Assim
Q=\frac{4{,}0}{k}=\frac{4{,}0}{8{,}99\times10^{9}}\\ \mathrm{C}.
Fazendo a divisão:
Q\approx 4{,}45\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
Novamente sinal positivo (potencial positivo e campo apontando para fora) indica carga positiva.

Passo 10

Responder (e): unicidade das respostas (c) e (d).
As equações usadas para a segunda esfera foram
V(a)=\frac{kQ}{a}=210\quad\text{e}\quad E(0{,}10)=\frac{kQ}{(0{,}10)^{2}}=400.
A segunda equação determina o produto kQ unicamente; substituindo em V(a) determina a unicamente. Portanto, com os dados fornecidos (valor do potencial em r=a e o módulo do campo em r=0{,}10\\ \mathrm{m}), os valores de a e Q ficam determinados de maneira única (considerando sinais: o sinal da carga é fixado pelo sinal do potencial e pela direção do campo). Se só tivéssemos magnitudes sem sinais, haveria ambiguidade de sinal da carga; mas com os dados numéricos fornecidos aqui as respostas são únicas.

Resposta

(a) a=7{,}50\\ \mathrm{cm}\n
(b) Q=1{,}67\times10^{-9}\\ \mathrm{C}\n
(c) a=1{,}90\\ \mathrm{cm}\n
(d) Q=4{,}45\times10^{-10}\\ \mathrm{C}\n
(e) Sim — os valores de a e Q são determinados de forma única pelos dados fornecidos.

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