(Pergunta 2) Qual será a capacitância equivalente Ceq de três capacitores, todos de capacitância C, se os capacitores forem ligados a uma bateria (a) em série e (b) em paralelo? (c) Em qual dos dois arranjos a carga total armazenada nos capacitores será maior? (Não esqueça de apresentar a comprovação matemática)
Passo 1
O enunciado dá: três capacitores idênticos, cada um com capacitância
, ligados a uma bateria. Pede-se:
(a) a capacitância equivalente , quando os três estão em série;
(b) a capacitância equivalente , quando os três estão em paralelo;
(c) em qual dos dois arranjos a carga total armazenada nos capacitores será maior, com comprovação matemática.
(a) a capacitância equivalente
(b) a capacitância equivalente
(c) em qual dos dois arranjos a carga total armazenada nos capacitores será maior, com comprovação matemática.
Informações relevantes: há exatamente três capacitores iguais (
) e existe uma tensão da bateria que vou chamar de
, (o enunciado não dá o valor numérico de
,; usaremos
, como símbolo genérico). A resolução começa a partir da definição de capacitância e das regras de associação de capacitores.
Passo 2
Relembrando a definição básica (essa é a essência do que precisamos): capacitância é a razão entre a carga armazenada e a diferença de potencial entre as placas.
Aqui
, é a capacitância,
, é a carga (módulo da carga em uma placa) e
, é a tensão entre as placas. Isso significa também que, para um capacitor isolado, a carga é
,.
Explicação didática: pense no capacitor como um “balde de carga” que, para uma dada tensão
, armazena uma quantidade
, proporcional a
,. Se a capacitância é maior, o mesmo
, permite armazenar mais carga.
Passo 3
Derivação da capacitância equivalente para capacitores em série (item a).
Regra para série (motivação física e matemática):
- Em ligação em série, a mesma carga atravessa (aparece nas placas de) todos os capacitores: os condensadores ficam em fila, então as placas internas recebem cargas opostas que se cancelam; portanto cada capacitor tem o mesmo valor de carga (módulo) que chamamos de
,. - A tensão total
, da bateria se distribui entre os capacitores: ,.
Como os capacitores são idênticos, escrevemos para cada um:
Somando as três quedas de tensão:
Isolando
,:
Agora a capacitância equivalente
, da combinação é definida por
,. Substituindo:
Portanto, para três capacitores iguais
em série,
,.
Comentário prático: regra geral para
capacitores idênticos em série é
,.
Passo 4
Derivação da capacitância equivalente para capacitores em paralelo (item b).
Regra para paralelo (motivação física e matemática):
- Em ligação em paralelo, todas as placas positivas estão ligadas ao terminal positivo da bateria e todas as placas negativas ao terminal negativo: isso faz com que a tensão em cada capacitor seja a mesma e igual à da bateria:
,. - As cargas em cada capacitor somam-se (cada capacitor armazena
, e essas cargas estão em placas diferentes ligadas ao mesmo nó).
Como os capacitores são idênticos, a carga em cada um é
A carga total fornecida pela bateria (ou carga total acumulada nas placas ligadas ao terminal positivo) é
A capacitância equivalente
, é dada por
, então
Portanto, para três capacitores iguais
em paralelo,
,.
Comentário prático: regra geral para capacitores em paralelo é que as capacitâncias somam:
,.
Passo 5
Comparação da carga armazenada (item c). Vou explicar com cuidado porque existe uma ambiguidade comum sobre o que se entende por “carga total armazenada”: (i) carga total fornecida pela bateria (ou carga resultante nos terminais do conjunto) e (ii) soma das magnitudes das cargas armazenadas em cada capacitor. Vou tratar as duas interpretações e mostrar qual arranjo armazena mais carga em ambos os sentidos.
Primeiro, carga fornecida pela bateria (mais usual em problemas de circuito):
- Em série, a carga fornecida pela bateria (ou a carga nos terminais do conjunto) é
. Usando ,
- Em paralelo,
. Usando ,
Comparando:
Logo, a bateria fornece (e o conjunto armazena, em termos de carga nos terminais) 9 vezes mais carga no arranjo em paralelo do que no arranjo em série. Conclusão: em termos de carga fornecida pela bateria, o arranjo em paralelo armazena muito mais carga.
Agora a segunda interpretação — soma das magnitudes das cargas em cada capacitor:
- Em série cada capacitor tem carga (módulo) igual a
(conforme Passo 3). Somando as magnitudes nos três capacitores:
- Em paralelo cada capacitor tem carga
; somando as três:
Comparando essas somas:
Então, se você somar módulo por módulo a carga armazenada em cada capacitor, o paralelo armazena 3 vezes mais carga do que a série.
Interpretação e resposta prática (motivação para prova): normalmente quando se pergunta “qual arranjo armazena mais carga” a referência é a carga total fornecida pela bateria, que é
. Nesse sentido, o paralelo armazena mais carga (especificamente
contra
). Se a pergunta pedir a soma das magnitudes em todos os capacitores, o paralelo ainda vence (3 vezes maior).
Passo 6
Resumo matemático e conclusão final (pronto para decorar e levar para a prova):
- Série:
, carga fornecida pela bateria . - Paralelo:
, carga fornecida pela bateria . - Comparação: em ambos os modos de interpretar “carga total armazenada” (carga fornecida pela bateria ou soma das magnitudes nos capacitores), o arranjo em paralelo armazena mais carga; numericamente, usando a definição
, o paralelo armazena 9 vezes mais carga fornecida pela bateria do que a série. Usando a soma das magnitudes por capacitor, o paralelo armazena 3 vezes mais.
Resposta
(a)
(b)
(c) O arranjo em paralelo armazena mais carga. Em termos da carga fornecida pela bateria: e
(o paralelo armazena 9 vezes mais nesta leitura). Se somarmos as magnitudes armazenadas em cada capacitor, o paralelo armazena
enquanto a série armazena
(o paralelo armazena 3 vezes mais nesta leitura).
(b)
(c) O arranjo em paralelo armazena mais carga. Em termos da carga fornecida pela bateria: