(Pergunta 2) Qual será a capacitância equivalente Ceq de três capacitores, todos de capacitância C, se os capacitores forem ligados a uma bateria (a) em série e (b) em paralelo? (c) Em qual dos dois arranjos a carga total armazenada nos capacitores será maior? (Não esqueça de apresentar a comprovação matemática)

Passo 1

O enunciado dá: três capacitores idênticos, cada um com capacitância \,C, ligados a uma bateria. Pede-se:
(a) a capacitância equivalente \,C_{eq}, quando os três estão em série;
(b) a capacitância equivalente \,C_{eq}, quando os três estão em paralelo;
(c) em qual dos dois arranjos a carga total armazenada nos capacitores será maior, com comprovação matemática.
Informações relevantes: há exatamente três capacitores iguais ( C) e existe uma tensão da bateria que vou chamar de \,V, (o enunciado não dá o valor numérico de \,V,; usaremos \,V, como símbolo genérico). A resolução começa a partir da definição de capacitância e das regras de associação de capacitores.

Passo 2

Relembrando a definição básica (essa é a essência do que precisamos): capacitância é a razão entre a carga armazenada e a diferença de potencial entre as placas.
C=\frac{Q}{V}
Aqui \,C, é a capacitância, \,Q, é a carga (módulo da carga em uma placa) e \,V, é a tensão entre as placas. Isso significa também que, para um capacitor isolado, a carga é \,Q=C\,V,.
Explicação didática: pense no capacitor como um “balde de carga” que, para uma dada tensão \,V, armazena uma quantidade \,Q, proporcional a \,C,. Se a capacitância é maior, o mesmo \,V, permite armazenar mais carga.

Passo 3

Derivação da capacitância equivalente para capacitores em série (item a).
Regra para série (motivação física e matemática):
  • Em ligação em série, a mesma carga atravessa (aparece nas placas de) todos os capacitores: os condensadores ficam em fila, então as placas internas recebem cargas opostas que se cancelam; portanto cada capacitor tem o mesmo valor de carga (módulo) que chamamos de \,Q,.
  • A tensão total \,V, da bateria se distribui entre os capacitores: \,V=V_1+V_2+V_3,.
Como os capacitores são idênticos, escrevemos para cada um:
V_i=\frac{Q}{C}\quad\text{para }i=1,2,3.
Somando as três quedas de tensão:
V = V_1+V_2+V_3 = \frac{Q}{C}+\frac{Q}{C}+\frac{Q}{C} = 3\frac{Q}{C}.
Isolando \,Q,:
Q = \frac{C}{3}\,V.
Agora a capacitância equivalente \,C_{eq}, da combinação é definida por \,C_{eq}=\dfrac{Q}{V},. Substituindo:
C_{eq}^{(\text{série})=\\ }\frac{Q}{V}=\frac{C}{3}.é
Portanto, para três capacitores iguais C em série, \,C_{eq}=\dfrac{C}{3},.
Comentário prático: regra geral para n capacitores idênticos em série é \,C_{eq}=C/n,.

Passo 4

Derivação da capacitância equivalente para capacitores em paralelo (item b).
Regra para paralelo (motivação física e matemática):
  • Em ligação em paralelo, todas as placas positivas estão ligadas ao terminal positivo da bateria e todas as placas negativas ao terminal negativo: isso faz com que a tensão em cada capacitor seja a mesma e igual à da bateria: \,V_1=V_2=V_3=V,.
  • As cargas em cada capacitor somam-se (cada capacitor armazena \,Q_i=C\,V, e essas cargas estão em placas diferentes ligadas ao mesmo nó).
Como os capacitores são idênticos, a carga em cada um é
Q_i=C\,V\quad\text{para }i=1,2,3.
A carga total fornecida pela bateria (ou carga total acumulada nas placas ligadas ao terminal positivo) é
Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2+Q_3 = C\,V + C\,V + C\,V = 3\,C\,V.
A capacitância equivalente \,C_{eq}, é dada por \,C_{eq}=\dfrac{Q_{\text{total}}}{V}, então
C_{eq}^{(\text{paralelo})}=\frac{3\,C\,V}{V}=3\,C.
Portanto, para três capacitores iguais C em paralelo, \,C_{eq}=3C,.
Comentário prático: regra geral para capacitores em paralelo é que as capacitâncias somam: \,C_{eq}=\sum C_i,.

Passo 5

Comparação da carga armazenada (item c). Vou explicar com cuidado porque existe uma ambiguidade comum sobre o que se entende por “carga total armazenada”: (i) carga total fornecida pela bateria (ou carga resultante nos terminais do conjunto) e (ii) soma das magnitudes das cargas armazenadas em cada capacitor. Vou tratar as duas interpretações e mostrar qual arranjo armazena mais carga em ambos os sentidos.
Primeiro, carga fornecida pela bateria (mais usual em problemas de circuito):
  • Em série, a carga fornecida pela bateria (ou a carga nos terminais do conjunto) é Q^{(\text{série})}_{\text{bat}} = C_{eq}^{(\text{série})}\,Véé. Usando \,C_{eq}^{(\text{série})}=\dfrac{C}{3}é,
Q^{(\text{série})}_{\text{bat}} = \frac{C}{3}\,V.é
  • Em paralelo, Q^{(\text{paralelo})}_{\text{bat}} = C_{eq}^{(\text{paralelo})}\,V. Usando \,C_{eq}^{(\text{paralelo})}=3C,
Q^{(\text{paralelo})}_{\text{bat}} = 3\,C\,V.
Comparando:
\frac{Q^{(\text{paralelo})}_{\text{bat}}}{Q^{(\text{série})}_{\text{bat}}} = \frac{3\,C\,V}{\frac{C}{3}\,V} = 9.é
Logo, a bateria fornece (e o conjunto armazena, em termos de carga nos terminais) 9 vezes mais carga no arranjo em paralelo do que no arranjo em série. Conclusão: em termos de carga fornecida pela bateria, o arranjo em paralelo armazena muito mais carga.
Agora a segunda interpretação — soma das magnitudes das cargas em cada capacitor:
  • Em série cada capacitor tem carga (módulo) igual a Q^{(\text{série})}_{\text{cap}} = \dfrac{C}{3}\,Vé (conforme Passo 3). Somando as magnitudes nos três capacitores:
Q^{(\text{série})}_{\text{soma}} = 3\cdot \frac{C}{3}\,V = C\,V.é
  • Em paralelo cada capacitor tem carga Q^{(\text{paralelo})}_{\text{cap}}=C\,V; somando as três:
Q^{(\text{paralelo})}_{\text{soma}} = 3\cdot C\,V = 3\,C\,V.
Comparando essas somas:
\frac{Q^{(\text{paralelo})}_{\text{soma}}}{Q^{(\text{série})}_{\text{soma}}} = \frac{3\,C\,V}{C\,V} = 3.é
Então, se você somar módulo por módulo a carga armazenada em cada capacitor, o paralelo armazena 3 vezes mais carga do que a série.
Interpretação e resposta prática (motivação para prova): normalmente quando se pergunta “qual arranjo armazena mais carga” a referência é a carga total fornecida pela bateria, que é Q=C_{eq}\,V. Nesse sentido, o paralelo armazena mais carga (especificamente 3C\,V contra \dfrac{C}{3}\,V). Se a pergunta pedir a soma das magnitudes em todos os capacitores, o paralelo ainda vence (3 vezes maior).

Passo 6

Resumo matemático e conclusão final (pronto para decorar e levar para a prova):
  • Série: \,C_{eq}=\dfrac{C}{3}\,, carga fornecida pela bateria \,Q^{(\text{série})}=\dfrac{C}{3}\,Vé.
  • Paralelo: \,C_{eq}=3C\,, carga fornecida pela bateria \,Q^{(\text{paralelo})}=3C\,V.
  • Comparação: em ambos os modos de interpretar “carga total armazenada” (carga fornecida pela bateria ou soma das magnitudes nos capacitores), o arranjo em paralelo armazena mais carga; numericamente, usando a definição Q=C_{eq}V, o paralelo armazena 9 vezes mais carga fornecida pela bateria do que a série. Usando a soma das magnitudes por capacitor, o paralelo armazena 3 vezes mais.

Resposta

(a) \displaystyle C_{eq}=\frac{C}{3}
(b) \displaystyle C_{eq}=3C
(c) O arranjo em paralelo armazena mais carga. Em termos da carga fornecida pela bateria: Q^{(\text{paralelo})}=3C\,V e Q^{(\text{série})}=\dfrac{C}{3}\,Vé (o paralelo armazena 9 vezes mais nesta leitura). Se somarmos as magnitudes armazenadas em cada capacitor, o paralelo armazena 3C\,V enquanto a série armazena C\,V (o paralelo armazena 3 vezes mais nesta leitura).

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