Regra do menor custo A função de produção de uma empresa é dada por
f(x, y)=100 x^0,25 y^0,75
em que x é o número de unidades de mão de obra e y, o número de unidades de capital. Suponha que a mão de obra custe por unidade e o capital, por unidade e o capital, por unidade e que a gerência estabeleça uma meta de produção de 20000 unidades.
(a) Determine o número de unidades de mão de obra e capital necessário para atender à meta de produção, minimizando o custo.

Passo 1

Vamos resumir: queremos minimizar o custo total de produção de 20 000 unidades dada a função de produção f(x,y)=100,x^0,25y^0,75, onde x é mão de obra a $48/unidade e 48/unidade e é capital a $36/unidade. Para isso, vamos usar a condição de tangência (MRTS = razão de preços).

Passo 2

A teoria nos diz que a condição de otimização é igualar a taxa marginal de substituição técnica MRTS=partial f/partial xpartial f/partial y à razão dos preços w/r. Primeiro, calculamos as produtividades marginais: partial f/partial x=25,x^-0,75y^0,75 e partial f/partial y=75,x^0,25y^-0,25.
Agora, montamos a MRTS:
MRTS=25,x^-0,75y^0,7575,x^0,25y^-0,25=13yx

Passo 3

Igualamos à razão de preços w/r=48/36=4/3, ou seja:
13yx=43 implies y=4x

Passo 4

Finalmente, usamos a meta de produção:
100,x^0,25(4x)^0,75=20000
Reescrevendo,
100,4^0,75,x^0,25+0,75=20000 implies 100,(2raiz2),x=20000 implies x=20000100cdot2raiz2=50raiz2approx70,71
E como y=4x,
y=4times50raiz2=200raiz2approx282,84

Resposta

A quantidade ótima é aproximadamente x=50raiz2approx70,71 unidades de mão de obra e y=200raiz2approx282,84 unidades de capital.

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