Regra do menor custo A função de produção de uma empresa é dada por
em que
é o número de unidades de mão de obra e
, o número de unidades de capital. Suponha que a mão de obra custe
por unidade e o capital,
por unidade e que a gerência estabeleça uma meta de produção de 20000 unidades.
(a) Determine o número de unidades de mão de obra e capital necessário para atender à meta de produção, minimizando o custo.
em que
(a) Determine o número de unidades de mão de obra e capital necessário para atender à meta de produção, minimizando o custo.
Passo 1
Vamos resumir: queremos minimizar o custo total de produção de 20 000 unidades dada a função de produção
, onde
é mão de obra a $48/unidade e
é capital a $36/unidade. Para isso, vamos usar a condição de tangência (MRTS = razão de preços).
Passo 2
A teoria nos diz que a condição de otimização é igualar a taxa marginal de substituição técnica
à razão dos preços
. Primeiro, calculamos as produtividades marginais:
e
.
Agora, montamos a MRTS:
Agora, montamos a MRTS:
Passo 3
Igualamos à razão de preços
, ou seja:
Passo 4
Finalmente, usamos a meta de produção:
Reescrevendo,
E como
,
Resposta
A quantidade ótima é aproximadamente
unidades de mão de obra e
unidades de capital.