O2I \frac{d y}{d t}=\frac{2 y \pm \sqrt{t{2}-y{2}}}{2 t}, y(s)=1
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial que relaciona
com
e
. A equação é:
Tema: Equações Diferenciais de Primeira Ordem.
O que vamos precisar: Técnicas de resolução de equações diferenciais, possivelmente separação de variáveis ou substituições para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para torná-la mais fácil de trabalhar. Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Mas, para facilitar, vamos manter a forma original:
Passo 3
Agora, vamos tentar isolar
e
para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados por
:
Isso nos dá:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos considerar uma substituição que facilite a integração. Vamos usar a substituição
, onde
é uma função de
. Então,
.
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Então, temos:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Aplicando a condição inicial
:
Isso nos permite encontrar a constante
:
Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: