O2I \frac{d y}{d t}=\frac{2 y \pm \sqrt{t{2}-y{2}}}{2 t}, y(s)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial que relaciona dy/dt com y e t . A equação é:
dydt = 2y pm raizt^2 - y^22t, y(s) = 1
Tema: Equações Diferenciais de Primeira Ordem.
O que vamos precisar: Técnicas de resolução de equações diferenciais, possivelmente separação de variáveis ou substituições para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para torná-la mais fácil de trabalhar. Dividindo ambos os lados por 2, temos:
dydt = y pm raizt^2 - y^22t
Mas, para facilitar, vamos manter a forma original:
dydt = 2y pm raizt^2 - y^22t

Passo 3

Agora, vamos tentar isolar dy e dt para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados por 2t :
2t cdot dydt = 2y pm raizt^2 - y^2
Isso nos dá:
2t dydt - 2y = pm raizt^2 - y^2

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos considerar uma substituição que facilite a integração. Vamos usar a substituição v = y/t , onde v é uma função de t . Então, y = vt .
Agora, vamos derivar y em relação a t :
dydt = v + t dvdt

Passo 5

Substituindo y = vt e dydt = v + t dvdt na equação original:
2t ( v + t dvdt ) - 2vt = pm raizt^2 - v^2 t^2
Simplificando:
2t v + 2t^2 dvdt - 2vt = pm t raiz1 - v^2
Os termos 2t v e -2t v se cancelam:
2t^2 dvdt = pm t raiz1 - v^2

Passo 6

Dividindo ambos os lados por t (assumindo t neq 0 ):
2t dvdt = pm raiz1 - v^2
Agora, vamos separar as variáveis v e t :
dvraiz1 - v^2 = pm dt2t

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
integral dvraiz1 - v^2 = arcsin(v) + C
E a integral do lado direito:
integral dt2t = 12 ln|t| + C
Então, temos:
arcsin(v) = pm 12 ln|t| + C

Passo 8

Vamos resolver para v :
v = sin( pm 12 ln|t| + C )
Lembrando que v = y/t , substituímos de volta:
yt = sin( pm 12 ln|t| + C )
Multiplicando ambos os lados por t :
y = t cdot sin( pm 12 ln|t| + C )

Passo 9

Aplicando a condição inicial y(s) = 1 :
1 = s cdot sin( pm 12 ln|s| + C )
Isso nos permite encontrar a constante C :
sin( pm 12 ln|s| + C ) = 1s
Então:
C = arcsin( 1s ) mp 12 ln|s|

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = t cdot sin( pm 12 ln|t| + arcsin( 1s ) mp 12 ln|s| )

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