Seja F(t)=f(e^t^2, sin t), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse F^prime(t) em termos das derivadas parciais de f. Calcule f^prime(0) supondo fy(1,0)=5.
R.: F^prime(t)=fx(e^t^2, sin t) 2 t e^t^2+fy(e^t^2, sin t) cos t e F^prime(0)=5.

Passo 1

O enunciado define
F(t)=fl(e^t^2,sin tr)
onde f(x,y) é diferenciável. Queremos F'(t) em termos de fx e fy e depois calcular F'(0) sabendo que fy(1,0)=5. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Defina
x(t)=e^t^2, y(t)=sin t
Então
x'(t)=ddte^t^2=2t,e^t^2, y'(t)=ddtsin t=cos t

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para F(t)=fl(x(t),y(t)r), obtemos
F'(t)=fxl(x(t),y(t)r),x'(t)+fyl(x(t),y(t)r),y'(t)
Substituindo x(t) e y(t), fica
F'(t)=fxl(e^t^2,sin tr),2t,e^t^2 ;+; fyl(e^t^2,sin tr),cos t

Passo 4

Para t=0 temos e^0^2=1, sin0=0, e o primeiro termo anula-se pois contém fator t. Logo
F'(0)=fy(1,0)cdotcos0=5cdot1=5

Resposta

F'(t)=fxl(e^t^2,sin tr),2t,e^t^2+fyl(e^t^2,sin tr),cos t
F'(0)=5

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