Obetenha a solução geral das equações abaixo usando o método de variação dos parâmetros: y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{x}}{x}
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá:
Pede: obter a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea usando o método de variação dos parâmetros.
A equação dada é y''-2y'+y=\frac{e^{x}}{x}.
Informação útil: coeficientes são constantes no lado esquerdo e o segundo membro é \dfrac{e^{x}}{x}. Vou achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar variação dos parâmetros para obter uma particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada e explicar por que:
A homogênea é y''-2y'+y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo obtemos o polinômio característico r^{2}-2r+1=0.
Calcular as raízes: r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r=1\\ \text{(raiz dupla)}.
Para raiz dupla r=1, as duas soluções linearmente independentes da homogênea são y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Assim a solução geral da homogênea é y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Apresentar o método de variação dos parâmetros e a ansatz:
A variação dos parâmetros busca uma solução particular da forma y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar.
Para determinar u_{1} e u_{2} impomos as duas condições padrão (isso simplifica as equações): u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
Explicação breve do porquê: colocar a primeira condição anula termos de segunda derivada de u_i quando substituímos y_p na equação, levando a um sistema linear simples para u_1' e u_2'.
Passo 4
Calcular y_{1}',y_{2}'\) e montar o sistema (mostrar contas):
- Temos \[y_{1}(x)=e^{x}\quad\Rightarrow\quad y_{1}'(x)=e^{x}.
E y_{2}(x)=x e^{x}\quad\Rightarrow\quad y_{2}'(x)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
Substituindo nas duas condições obtemos o sistema para u_{1}' e u_{2}':
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por (e^{x}] (que nunca é zero), resultando em \begin{cases} u_{1}'(x)+x\,u_{2}'(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)+(1+x)\,u_{2}'(x)=\dfrac{1}{x}. \end{cases}]
Passo 5
Resolver o sistema para u_{1}' e u_{2}' (passo a passo):
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar u_{1}':
Observação importante e prática para variação dos parâmetros: constantes K_{1},K_{2} podem ser incorporadas à solução homogênea (pois K_{1}y_{1}+K_{2}y_{2} produz termos da homogênea). Ao construir uma solução particular toma-se tipicamente K_{1}=K_{2}=0. Assim escolhemos u_{1}(x)=-x,\qquad u_{2}(x)=\ln|x|.
Passo 7
Construir a solução particular e simplificá-la:
Usando a ansatz y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
substitui-se u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}(x)=(-x)\cdot e^{x}+(\ln|x|)\cdot x e^{x}.
Fatorando x e^{x} (ou e^{x}) obtemos uma forma mais limpa:
y_{p}(x)=x e^{x}\big(\ln|x|-1\big).
Verificação rápida (opcional, mas didática): esta expressão é bem definida para x\neq 0 e ao substituir na equação original ela satisfaz a igualdade — portanto é uma particular válida no domínio onde x\neq 0.
Passo 8
Escrever a solução geral e comentar sobre domínio:
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Observação sobre domínio: o termo \ln|x| exige x\neq 0, portanto a solução está definida para x>0 e x<0 em intervalos separados; em aplicações normalmente escolhe-se o ramo compatível com as condições iniciais.