Obetenha a solução geral das equações abaixo usando o método de variação dos parâmetros:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\frac{e^{x}}{x}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá:
  • Pede: obter a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea usando o método de variação dos parâmetros.
  • A equação dada é y''-2y'+y=\frac{e^{x}}{x}.
  • Informação útil: coeficientes são constantes no lado esquerdo e o segundo membro é \dfrac{e^{x}}{x}. Vou achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar variação dos parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada e explicar por que:
  • A homogênea é y''-2y'+y=0.
  • Procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo obtemos o polinômio característico r^{2}-2r+1=0.
  • Calcular as raízes: r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r=1\\ \text{(raiz dupla)}.
  • Para raiz dupla r=1, as duas soluções linearmente independentes da homogênea são y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
  • Assim a solução geral da homogênea é y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Apresentar o método de variação dos parâmetros e a ansatz:
  • A variação dos parâmetros busca uma solução particular da forma y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar.
  • Para determinar u_{1} e u_{2} impomos as duas condições padrão (isso simplifica as equações): u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=\frac{e^{x}}{x}.
  • Explicação breve do porquê: colocar a primeira condição anula termos de segunda derivada de u_i quando substituímos y_p na equação, levando a um sistema linear simples para u_1' e u_2'.

Passo 4

Calcular y_{1}',y_{2}'\) e montar o sistema (mostrar contas): - Temos \[y_{1}(x)=e^{x}\quad\Rightarrow\quad y_{1}'(x)=e^{x}.
  • E y_{2}(x)=x e^{x}\quad\Rightarrow\quad y_{2}'(x)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
  • Substituindo nas duas condições obtemos o sistema para u_{1}' e u_{2}':
\begin{cases} u_{1}'(x)e^{x}+u_{2}'(x)x e^{x}=0,\\[4pt] u_{1}'(x)e^{x}+u_{2}'(x)e^{x}(1+x)=\dfrac{e^{x}}{x}. \end{cases}
  • Podemos simplificar dividindo ambas as equações por (e^{x}] (que nunca é zero), resultando em
    \begin{cases} u_{1}'(x)+x\,u_{2}'(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)+(1+x)\,u_{2}'(x)=\dfrac{1}{x}. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para u_{1}' e u_{2}' (passo a passo):
  • Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar u_{1}':
\big(u_{1}'+(1+x)u_{2}'\big)-\big(u_{1}'+x u_{2}'\big)=u_{2}'=\frac{1}{x}.
  • Portanto u_{2}'(x)=\frac{1}{x}.
  • Usando a primeira equação u_{1}'+x u_{2}'=0, substitui-se u_{2}':
u_{1}'(x)+x\cdot\frac{1}{x}=u_{1}'(x)+1=0.
  • Logo u_{1}'(x)=-1.

Passo 6

Integrar u_{1}' e u_{2}' e comentar sobre constantes de integração:
  • Integrando u_{1}'(x)=-1\quad\Rightarrow\quad u_{1}(x)=-x+K_{1}.
  • Integrando u_{2}'(x)=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad u_{2}(x)=\ln|x|+K_{2}.
  • Observação importante e prática para variação dos parâmetros: constantes K_{1},K_{2} podem ser incorporadas à solução homogênea (pois K_{1}y_{1}+K_{2}y_{2} produz termos da homogênea). Ao construir uma solução particular toma-se tipicamente K_{1}=K_{2}=0. Assim escolhemos u_{1}(x)=-x,\qquad u_{2}(x)=\ln|x|.

Passo 7

Construir a solução particular e simplificá-la:
  • Usando a ansatz y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
substitui-se u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}(x)=(-x)\cdot e^{x}+(\ln|x|)\cdot x e^{x}.
  • Fatorando x e^{x} (ou e^{x}) obtemos uma forma mais limpa:
y_{p}(x)=x e^{x}\big(\ln|x|-1\big).
  • Verificação rápida (opcional, mas didática): esta expressão é bem definida para x\neq 0 e ao substituir na equação original ela satisfaz a igualdade — portanto é uma particular válida no domínio onde x\neq 0.

Passo 8

Escrever a solução geral e comentar sobre domínio:
  • A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+x e^{x}\big(\ln|x|-1\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
  • Observação sobre domínio: o termo \ln|x| exige x\neq 0, portanto a solução está definida para x>0 e x<0 em intervalos separados; em aplicações normalmente escolhe-se o ramo compatível com as condições iniciais.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+x e^{x}\big(\ln|x|-1\big)

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