Obetenha as soluções dos sistemas lineares abaixo usando o método de Gauss-Jordan
c)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x+y+z+w+v+u=6, 2x+2y+2z-w-v-u=6, x-y+z-w+v-u=0, 3x+y-z+w-2v+u=5, -x+4y+3z-2w+v-u=7, 5x+3y+z+w-v+2u=12
usando o método de Gauss–Jordan. Isso envolve montar a matriz aumentada, escolher pivôs coluna a coluna, escalar linhas e zerar os outros elementos da coluna até chegar à forma reduzida, de onde lemos diretamente as soluções.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[cccccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 6 2 & 2 & 2 & -1 & -1 & -1 & 6 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 3 & 1 & -1 & 1 & -2 & 1 & 5 -1 & 4 & 3 & -2 & 1 & -1 & 7 5 & 3 & 1 & 1 & -1 & 2 & 12 ]

Passo 3

Usamos a linha 1 como pivô para zerar todos os elementos abaixo em coluna 1:
R2to R2 - 2 cdot R1, R3to R3 - R1, R4to R4 - 3 cdot R1, R5to R5 + R1, R6to R6 - 5 cdot R1.
O resultado é
[cccccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 6 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & -3 & -6 0 & -2 & 0 & -2 & 0 & -2 & -6 0 & -2 & -4 & -2 & -5 & -2 & -13 0 & 5 & 4 & -1 & 2 & 0 & 13 0 & -2 & -4 & -4 & -6 & -3 & -18 ]

Passo 4

Para o pivô em coluna 2, trocamos R2 rightarrow R5 (para ter 5 como pivô), escalamos R2 to 15 R2 e então zeramos em coluna 2 usando R2 nas outras linhas. Após essas operações obtemos
[cccccc|c 1 & 0 & tfrac15 & tfrac65 & tfrac35 & 1 & tfrac175 0 & 1 & tfrac45 & -tfrac15 & tfrac25 & 0 & tfrac135 0 & 0 & tfrac85 & -tfrac125 & tfrac45 & -2 & -tfrac45 0 & 0 & -tfrac125 & -tfrac125 & -tfrac215 & -2 & -tfrac395 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & -3 & -6 0 & 0 & -tfrac125 & -tfrac225 & -tfrac265 & -3 & -tfrac645 ]

Passo 5

Preparamos o pivô em coluna 3 usando R 3 (que vale tfrac85), escalamos R 3to tfrac58R 3 e zeramos coluna 3 nas linhas 1,2, 4 e 6. Ficamos com
[cccccc|c 1 & 0 & 0 & tfrac32 & tfrac12 & tfrac54 & tfrac72 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & tfrac54 & 3 0 & 0 & 1 & -tfrac32 & tfrac12 & -tfrac54 & -tfrac12 0 & 0 & 0 & -6 & -3 & -5 & -9 0 & 0 & 0 & -3 & -3 & -3 & -6 0 & 0 & 0 & -8 & -4 & -6 & -14 ]

Passo 6

Para coluna 4, trocamos R4 rightarrow R5 (pivô = -3), escalamos R4 to -13 R4 e zeramos coluna 4 em todas as outras linhas. O sistema vira
[cccccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -tfrac14 & tfrac12 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & tfrac14 & 1 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & tfrac14 & tfrac52 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 2 ]

Passo 7

Na coluna 5, escalamos R 5to( 1/ 3)R 5 para pivô e zeramos essa coluna em todas as outras linhas. Resultado:
[cccccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & tfrac112 & tfrac32 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & tfrac712 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac512 & tfrac12 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac23 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac13 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 2 & 2 ]

Passo 8

Finalmente, na coluna 6 usamos R 6 (que vale tfrac23), escalamos R 6to tfrac32R 6 e zeramos os outros em coluna 6, obtendo a forma reduzida
[cccccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & tfrac74 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & tfrac154 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -tfrac34 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -3 ]

Passo 9

Na forma reduzida cada linha dá diretamente uma variável:
;x=tfrac74,;y=tfrac154,;z=-tfrac34,;w=3,;v=2,;u=-3

Resposta

x=tfrac74, y=tfrac154, z=-tfrac34, w=3, v=2, u=-3

Exercícios relacionados