Obetenha as soluções dos sistemas lineares abaixo usando o método de Gauss-Jordan
b)
ll3 x+2 y-z+7 w-5 v+4 u & =12 6 x+4 y-2 z+14 w-10 v+8 u & =24 9 x+6 y-3 z+21 w-15 v+12 u & =36 12 x+8 y-4 z+28 w-20 v+16 u & =48 15 x+10 y-5 z+35 w-25 v+20 u & =60 18 x+12 y-6 z+42 w-30 v+24 u & =72

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por Gauss–Jordan, o sistema linear com seis equações e seis incógnitas
3x + 2y - z + 7w - 5v + 4u = 12, 6x + 4y - 2z + 14w - 10v + 8u = 24, 9x + 6y - 3z + 21w - 15v + 12u = 36, 12x + 8y - 4z + 28w - 20v + 16u = 48, 15x + 10y - 5z + 35w - 25v + 20u = 60, 18x + 12y - 6z + 42w - 30v + 24u = 72
Este é um exercício de Álgebra Linear onde vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para chegar à forma reduzida (RREF) e depois ler as soluções livres e a variável básica.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada (A mid b) :
[cccccc|c 3 & 2 & -1 & 7 & -5 & 4 & 12 6 & 4 & -2 & 14 & -10 & 8 & 24 9 & 6 & -3 & 21 & -15 & 12 & 36 12 & 8 & -4 & 28 & -20 & 16 & 48 15 & 10 & -5 & 35 & -25 & 20 & 60 18 & 12 & -6 & 42 & -30 & 24 & 72 ]
Primeiro pivot: dividimos a linha 1 por 3:
[cccccc|c 1 & tfrac23 & -tfrac13 & tfrac73 & -tfrac53 & tfrac43 & 4 6 & 4 & -2 & 14 & -10 & 8 & 24 9 & 6 & -3 & 21 & -15 & 12 & 36 12 & 8 & -4 & 28 & -20 & 16 & 48 15 & 10 & -5 & 35 & -25 & 20 & 60 18 & 12 & -6 & 42 & -30 & 24 & 72 ]
Em seguida, para i=2,dots,6 fazemos linhai linhai - ki cdot linha1 com k2=6,k3=9,dots,k6=18. Como cada linha original era múltipla da 1, todas as linhas 2 a 6 viram vetor nulo.

Passo 3

Depois dessas operações, a forma reduzida é
[cccccc|c 1 & tfrac23 & -tfrac13 & tfrac73 & -tfrac53 & tfrac43 & 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Aqui só há um pivô na coluna de x. As colunas de y,z,w,v,u não têm pivô, então y,z,w,v,u são variáveis livres.

Passo 4

Da linha de pivô obtemos a equação
x + tfrac23,y - tfrac13,z + tfrac73,w - tfrac53,v + tfrac43,u = 4
Isolando x:
x = 4 - tfrac23,y + tfrac13,z - tfrac73,w + tfrac53,v - tfrac43,u

Resposta

A solução geral do sistema, tomando
;y=t1,;z=t2,;w=t3,;v=t4,;u=t5, é
l(x,y,z,w,v,ur) =l(4 - tfrac23t1 + tfrac13t2 - tfrac73t3 + tfrac53t4 - tfrac43t5,;t1,;t2,;t3,;t4,;t5r),
com t1,t2,t3,t4,t5in R.

Exercícios relacionados