Obetenha as soluções dos sistemas lineares abaixo usando o método de Gauss-Jordan
a)

Passo 1

Temos um sistema de seis equações lineares em seis incógnitas ). Vamos usar o método de Gauss–Jordan, que consiste em transformar a matriz aumentada do sistema na forma reduzida por linhas (RREF) para ler diretamente as soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e, em seguida, colocamos 1 no pivô da primeira coluna trocando a linha 1 com a linha 4 e eliminamos as entradas abaixo e acima desse pivô:
[rrrrrr|r 1&1&1&1&1&1&6 -1&5&2&-1&3&1&9 4&-2&1&5&-1&2&20 2&3&-1&4&-5&6&12 3&-1&2&4&1&-2&15 7&6&3&10&-2&11&47 ] ;xrightarrowR1rightarrowR4; [rrrrrr|r 1&1&1&1&1&1&6 -1&5&2&-1&3&1&9 4&-2&1&5&-1&2&20 2&3&-1&4&-5&6&12 3&-1&2&4&1&-2&15 7&6&3&10&-2&11&47 ] ;xrightarrowsubstackeliminarcoluna 1; [rrrrrr|r 1&1&1&1&1&1&6 0&6&3&0&4&2&15 0&-6&-3&1&-5&-2&-4 0&1&-3&2&-7&4&0 0&-4&-1&1&-2&-5&-3 0&-1&-4&3&-9&4&5 ]

Passo 3

Normalizamos o pivô da segunda coluna dividindo a linha 2 por 6 e eliminamos as demais entradas na segunda coluna:
[rrrrrr|r 1&1&1&1&1&1&6 0&6&3&0&4&2&15 0&-6&-3&1&-5&-2&-4 0&1&-3&2&-7&4&0 0&-4&-1&1&-2&-5&-3 0&-1&-4&3&-9&4&5 ] ;xrightarrowsubstackR2to16R2eliminar col2; [rrrrrr|r 1&0&tfrac12&1&tfrac13&tfrac23&tfrac72 0&1&tfrac12&0&tfrac23&tfrac13&tfrac52 0&0&0&1&-1&0&11 0&0&-tfrac72&2&-tfrac233&tfrac113&-tfrac52 0&0&1&1&tfrac23&-tfrac113&7 0&0&-tfrac72&3&-tfrac253&tfrac133&tfrac152 ]

Passo 4

Escolhemos a linha 5 como pivô da terceira coluna (já que tem entrada 1), trocamos com a linha 3 e eliminamos as outras entradas na terceira coluna:
[rrrrrr|r 1&0&tfrac12&1&tfrac13&tfrac23&tfrac72 0&1&tfrac12&0&tfrac23&tfrac13&tfrac52 0&0&0&1&-1&0&11 0&0&-tfrac72&2&-tfrac233&tfrac113&-tfrac52 0&0&1&1&tfrac23&-tfrac113&7 0&0&-tfrac72&3&-tfrac253&tfrac133&tfrac152 ] ;xrightarrowsubstackR3rightarrowR5eliminar col3; [rrrrrr|r 1&0&0&tfrac12&0&tfrac52&0 0&1&0&-tfrac12&tfrac13&tfrac136&-1 0&0&1&1&tfrac23&-tfrac113&7 0&0&0&tfrac112&-tfrac163&-tfrac556&22 0&0&0&1&-1&0&11 0&0&0&tfrac132&-6&-tfrac172&32 ]

Passo 5

Tomamos a linha 5 (entrando agora em 4ª coluna) como pivô, trocamos com a linha 4 e eliminamos a 4ª coluna:
[rrrrrr|r 1&0&0&tfrac12&0&tfrac52&0 0&1&0&-tfrac12&tfrac13&tfrac136&-1 0&0&1&1&tfrac23&-tfrac113&7 0&0&0&tfrac112&-tfrac163&-tfrac556&22 0&0&0&1&-1&0&11 0&0&0&tfrac132&-6&-tfrac172&32 ] ;xrightarrowsubstackR4rightarrowR5eliminar col4; [rrrrrr|r 1&0&0&0&tfrac12&tfrac52&-tfrac112 0&1&0&0&-tfrac16&tfrac136&tfrac92 0&0&1&0&tfrac53&-tfrac113&-4 0&0&0&1&-1&0&11 0&0&0&0&tfrac16&-tfrac556&-tfrac772 0&0&0&0&tfrac12&-tfrac172&tfrac152 ]

Passo 6

Normalizamos a quinta coluna usando a linha 5 dividindo por tfrac16 e eliminamos as demais entradas nessa coluna:
[rrrrrr|r 1&0&0&0&tfrac12&tfrac52&-tfrac112 0&1&0&0&-tfrac16&tfrac136&tfrac92 0&0&1&0&tfrac53&-tfrac113&-4 0&0&0&1&-1&0&11 0&0&0&0&tfrac16&-tfrac556&-tfrac772 0&0&0&0&tfrac12&-tfrac172&tfrac152 ] ;xrightarrowsubstackR5to6,R5eliminar col5; [rrrrrr|r 1&0&0&0&0&30&110 0&1&0&0&0&-7&-34 0&0&1&0&0&88&381 0&0&0&1&0&-55&-220 0&0&0&0&1&-55&-231 0&0&0&0&tfrac12&-tfrac172&tfrac152 ]

Passo 7

Finalmente, normalizamos a sexta coluna com a linha 6 dividindo por tfrac12 (que já vale 1 após eliminação anterior) e eliminamos as demais entradas acima, obtendo a forma reduzida:
[rrrrrr|r 1&0&0&0&0&0&-10 0&1&0&0&0&0&-6 0&0&1&0&0&0&29 0&0&0&1&0&0&0 0&0&0&0&1&0&-11 0&0&0&0&0&1&4 ]

Resposta

x1=-10, x2=-6, x3=29, x4=0, x5=-11, x6=4.

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