1- Numa indústria alimentícia, mais especificamente uma fábrica que produz alimentos embalados, os operadores são responsáveis pela medição do peso dos produtos em diferentes ocasiões, como durante o processo de produção ou antes do envio para a distribuição.
A análise do sistema de medição nesse contexto seria importante para garantir a qualidade e a consistência dos produtos embalados, uma vez que o peso correto é um aspecto crucial para atender às especificações e às expectativas dos clientes.
Além disso, a repetitividade e a reprodutibilidade do sistema de medição seriam fatores críticos, pois é necessário garantir que diferentes operadores e diferentes ocasiões de medição produzam resultados consistentes e confiáveis.
Por tanto, analise o sistema de medição para determinar sua precisão, repetitividade e reprodutibilidade, a partir do banco de dados abaixo:
Produto Operador Medição Peso
Produto 1 A 1 10.2
Produto 1 B 1 9.8
Produto 1 C 1 10.5
Produto 1 D 1 10.4
Produto 1 E 1 9.7
Produto 1 A 2 10.1
Produto 1 B 2 9.6
Produto 1 C 2 10.3
Produto 1 D 2 10.5
Produto 1 E 2 9.8
Produto 2 A 1 9.9
Produto 2 B 1 10.1
Produto 2 C 1 10.3
Produto 2 D 1 10.2
Produto 2 E 1 9.6
Produto 2 A 2 10.4
Produto 2 B 2 9.8
Produto 2 C 2 10.2
Produto 2 D 2 10.3
Produto 2 E 2 9.9
Produto 3 A 1 10.3
Produto 3 B 1 9.9
Produto 3 C 1 10.4
Produto 3 D 1 10.1
Produto 3 E 1 9.7
Produto 3 A 2 10.2
Produto 3 B 2 9.8
Produto 3 C 2 10.1
Produto Operador Medição Peso
Produto 3 D 2 10.5
Produto 3 E 2 9.6
Produto 4 A 1 9.7
Produto 4 B 1 10.2
Produto 4 C 1 9.9
Produto 4 D 1 10.3
Produto 4 E 1 10.1
Produto 4 A 2 9.8
Produto 4 B 2 10.1
Produto 4 C 2 10.2
Produto 4 D 2 9.9
Produto 4 E 2 10.4
Produto 5 A 1 10.5
Produto 5 B 1 10.1
Produto 5 C 1 9.7
Produto 5 D 1 10.2
Produto 5 E 1 10.3
Produto 5 A 2 9.9
Produto 5 B 2 10.4
Produto 5 C 2 10.1
Produto 5 D 2 9.8
Produto 5 E 2 10.2
Devem ser realizadas as seguintes etapas:
a. Analisar os dados fornecidos, identificando a característica de interesse e as variáveis relevantes para a análise.
b. Calcular as estatísticas descritivas básicas, como média, desvio padrão, mínimo e máximo, para obter uma visão geral do conjunto de dados.
c. Usar gráficos de controle, para identificar possíveis padrões ou pontos fora de controle que indiquem problemas no sistema de medição.
d. Analisar a repetitividade de cada operador, a repetitividade geral, a reprodutibilidade, o sistema de medição como um todo e avaliar a possibilidade de vício e precisão.
e. Interpretar os resultados e elaborar um relatório contendo as principais conclusões da análise, incluindo recomendações para melhorar o sistema de medição, se necessário.
f. Entrega do relatório final: 29/05/2026 até 23:59
g. Os relatórios serão avaliados com base na qualidade da análise estatística realizada, nas conclusões tiradas e na clareza.
h. Os grupos devem conter no máximo 3 alunos.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos (tudo o que foi dado).
  • O enunciado pede uma análise do sistema de medição (peso) incluindo: descrição estatística, gráficos de controle, análise da repetitividade (variação dentro da mesma condição), reprodutibilidade (variação entre operadores), avaliação do sistema de medição como um todo (Gage R&R via ANOVA), possibilidade de vício (bias) e recomendações.
  • Dados fornecidos (peguei todos os números das duas tabelas do enunciado):
    • 5 produtos (Partes) numerados aqui como Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4, Parte 5.
    • 5 operadores: A,B,C,D,E.
    • Cada operador fez r=2 repetições por produto.
    • Total de observações N = 5\\ \text{partes}\times 5\\ \text{operadores}\times 2\\ \text{rep}=50 medidas.
    • Exemplos de medições (alguns casos): para a Parte 1, Operador A as medições foram 10{,}2 e 10{,}1; para Parte 2, Operador A foram 9{,}9 e 10{,}4; etc. (usei todas as 50 medidas para os cálculos).
  • Perguntas/subetapas solicitadas a serem respondidas: (a) identificar característica e variáveis; (b) calcular estatísticas descritivas básicas; (c) usar gráficos de controle; (d) analisar repetitividade / reprodutibilidade / sistema (Gage R&R) e vício/precisão; (e) interpretar e dar recomendações.

Passo 2

Resumo e estatísticas descritivas básicas (vou mostrar como calculei e os valores).
  • Definições rápidas que vou usar:
    • Soma total das observações: \sum x.
    • Média geral: \overline{x} = \dfrac{\sum x}{N}.
    • Soma dos quadrados: \sum x^2.
    • Soma de quadrados total (correção): SS_{T} = \sum x^2 - \dfrac{(\sum x)^2}{N}.
    • Desvio-padrão amostral: s = \sqrt{\dfrac{SS_T}{N-1}}.
  • Cálculos (usei as 50 medições todas):
    • Soma total das medições: \sum x = 504{,}0.
    • Número de observações: N=50.
    • Média global: \overline{x} = \dfrac{504{,}0}{50} = 10{,}08.
    • Soma dos quadrados: \sum x^2 = 5083{,}88.
    • Soma de quadrados total: SS_T = 5083{,}88 - \dfrac{504{,}0^2}{50} = 3{,}56.
    • Desvio-padrão amostral total: s = \sqrt{\dfrac{3{,}56}{50-1}} = \sqrt{0{,}07265} \approx 0{,}2695.
    • Valores extremos: \min = 9{,}6,\qquad \max = 10{,}5.
  • Estatísticas por operador (cada operador tem 10 medidas, calculei soma e média):
    • Operador A: soma =101{,}0, média \overline{x}_A = 10{,}10, desvio amostral s_A\approx 0{,}267.
    • Operador B: soma =99{,}8, média \overline{x}_B = 9{,}98, s_B\approx 0{,}239.
    • Operador C: soma =101{,}7, média \overline{x}_C = 10{,}17, s_C\approx 0{,}236.
    • Operador D: soma =102{,}2, média \overline{x}_D = 10{,}22, s_D\approx 0{,}235.
    • Operador E: soma =99{,}3, média \overline{x}_E = 9{,}93, s_E\approx 0{,}298.
  • Observação interpretativa curta: as médias dos operadores variam entre \approx 9{,}93 e \approx 10{,}22, isto é uma diferença máxima entre operadores de \approx 0{,}29 unidades de peso. A variabilidade total observada é pequena (desvio total \approx 0{,}27), o que já sugere que as diferenças reais entre partes são pequenas e que a medição também precisa ser bem precisa para distinguir partes.

Passo 3

Preparando a ANOVA two-way (partes \times operadores) com replicação r=2 — explico a ideia e depois aplico.
  • O modelo: cada observação x_{ijk} onde i é a parte ( i=1,\dots,5), j é o operador ( j=1,\dots,5), k é a repetição ( k=1,2). A decomposição de variância procura quantificar:
    • Variação entre partes ( \sigma_p^2): diferenças reais entre produtos.
    • Variação entre operadores ( \sigma_o^2): reprodutibilidade sistemática (operator bias).
    • Variação interação parte \timesoperador ( \sigma_{po}^2): operadores que se comportam de forma diferente dependendo das partes (ex.: operador mede alto numa parte e baixo noutra).
    • Variação do erro de medição (repetitividade) ( \sigma_e^2): variação entre repetições no mesmo célula.
  • Fórmulas de soma de quadrados usadas:
    • Correção CF = \dfrac{(\sum x)^2}{N}.
    • SS_{\text{partes}}=\sum_{i}\dfrac{( \text{soma da parte }i )^2}{n_{\text{por parte}}} - CF.
    • SS_{\text{operadores}}=\sum_{j}\dfrac{( \text{soma do operador }j )^2}{n_{\text{por operador}}} - CF.
    • SS_{\text{células}}=\sum_{i,j}\dfrac{( \text{soma da célula }(i,j) )^2}{r} - CFéé.
    • SS_{\text{interação}} = SS_{\text{células}} - SS_{\text{partes}} - SS_{\text{operadores}}çãé.
    • SS_{\text{erro}} = SS_T - SS_{\text{partes}} - SS_{\text{operadores}} - SS_{\text{interação}}çã (ou diretamente soma das variâncias dentro das células).
  • Cálculos (usei as somas por parte, por operador e por célula já obtidas na etapa anterior):
    • SS_{\text{partes}} = 0{,}026 com df_{partes}=p-1=4.
    • SS_{\text{operadores}} = 0{,}606 com df_{operadores}=o-1=4.
    • SS_{\text{células}} = 2{,}570é.
    • SS_{\text{interação}} = 2{,}570 - 0{,}026 - 0{,}606 = 1{,}938çã com df_{\text{inter}}=(p-1)(o-1)=16.
    • SS_{\text{erro}} = SS_T - SS_{\text{partes}} - SS_{\text{operadores}} - SS_{\text{interação}} = 3{,}56 - 0{,}026 - 0{,}606 - 1{,}938 = 0{,}99çã com df_{\text{erro}} = p\cdot o\cdot(r-1) = 25.
  • Médias dos quadrados (mean squares):
    • MS_{\text{partes}} = \dfrac{0{,}026}{4} = 0{,}0065.
    • MS_{\text{operadores}} = \dfrac{0{,}606}{4} = 0{,}1515.
    • MS_{\text{interação}} = \dfrac{1{,}938}{16} = 0{,}121125.çã
    • MS_{\text{erro}} = \dfrac{0{,}99}{25} = 0{,}0396.

Passo 4

Estimando os componentes de variância (como se faz num Gage R&R via ANOVA) — explico as fórmulas e calculo os números.
  • Conceito: pela ANOVA de efeitos aleatórios, as expectativas das médias quadradas dão fórmulas para estimar componentes:
    • Repetitividade (erro do aparelho / variação dentro da célula): \sigma_e = \sqrt{MS_{\text{erro}}}.Aqui MS_{\text{erro}} = 0{,}0396, logo \sigma_e = \sqrt{0{,}0396} \approx 0{,}199.Interpretação: é a variabilidade típica entre repetições imediatas no mesmo operador/mesma parte (ruído do sistema).
    • Variação da interação parte \timesoperador: \sigma_{po}^2 = \dfrac{MS_{\text{interação}} - MS_{\text{erro}}}{r},çãonde r=2 é número de repetições. Calculando: \sigma_{po}^2 = \dfrac{0{,}121125 - 0{,}0396}{2} = 0{,}0407625,então \sigma_{po} \approx \sqrt{0{,}0407625} \approx 0{,}2019.Interpretação: mede quanto os operadores se comportam de forma diferente dependendo da parte (é grande se um operador mede sistematicamente mais alto em certas partes e outro mais alto em outras).
    • Variação entre operadores (componente de reprodutibilidade “fixa”): \sigma_o^2 = \dfrac{MS_{\text{operadores}} - MS_{\text{interação}}}{r\cdot p},çãonde p=5 partes e r=2. Calculando: \sigma_o^2 = \dfrac{0{,}1515 - 0{,}121125}{10} = 0{,}0030375,então \sigma_o \approx \sqrt{0{,}0030375} \approx 0{,}0551.Interpretação: é a variabilidade devido a operadores que medem sistematicamente diferente (bias entre operadores).
    • Variação entre partes (produto): idealmente \sigma_p^2 = \dfrac{MS_{\text{partes}} - MS_{\text{interação}}}{r\cdot o}.çãAqui essa conta dá um valor negativo (pois MS_{\text{partes}}<MS_{\text{interação}}çã), o que indica que não há evidência de variação entre partes além do ruído/ interação; numericamente ficaria negativo e por isso tratamos como indistinguível de zero (ou seja, as partes têm muito pouca diferença comparadas ao ruído do sistema).
  • Componentes numéricos resumidos:
    • Repetitividade (equipamento): \sigma_e \approx 0{,}199.
    • Interação parte \timesoperador: \sigma_{po} \approx 0{,}2019.
    • Variação operador (reprodutibilidade “fixa”): \sigma_o \approx 0{,}0551.
    • Variação parte: estimativa negativa \Rightarrow considerar \sigma_p \approx 0 (significa que as diferenças reais entre produtos são muito pequenas frente ao ruído).
  • Como combinar para obter o Gage R&R total:
    • Reprodutibilidade total (inclui operador e interação): \sigma_{\text{reprod}}^2 = \sigma_o^2 + \sigma_{po}^2 \Rightarrow \sigma_{\text{reprod}} \approx \sqrt{0{,}0030375 + 0{,}0407625} \approx 0{,}2094.
    • Gage R&R (total do sistema de medição): \sigma_{\text{GRR}}^2 = \sigma_e^2 + \sigma_{\text{reprod}}^2 \Rightarrow \sigma_{\text{GRR}} \approx \sqrt{0{,}0396 + 0{,}0438} \approx 0{,}2888.
    • Percentual do GRR relativamente à variação observada total (usar razões de desvios-padrão): \%GRR_{total} \approx \dfrac{\sigma_{\text{GRR}}}{s_{\text{total}}}\times 100\%.Com s_{\text{total}}\approx 0{,}2695 e \sigma_{\text{GRR}}\approx 0{,}2888, \%GRR \approx \dfrac{0{,}2888}{0{,}2695}\times 100\% \approx 107\%.Observação: valor >100% ocorre aqui porque a estimativa de variação entre partes foi essencialmente zero (ou pequena), de modo que o sistema de medição explica mais variação que a própria variação entre produtos — sinal claro de que o sistema não consegue distinguir as partes com confiança.
  • Interpretação prática destes números:
    • Repetitividade \sigma_e \approx 0{,}199 é significativa: duas medições back-to-back no mesmo operador podem variar tipicamente \pm 0{,}20 em 1 desvio-padrão.
    • A interação operad./parte \sigma_{po}\approx 0{,}202 é tão grande quanto a repetitividade; isto indica que o comportamento do operador depende da parte — um sinal de procedimento/posicionamento ou sensibilidade do instrumento às características das partes.
    • A componente de operador “fixo” \sigma_o\approx 0{,}055 é pequena: não há grande viés constante entre operadores, a maior parte da reprodutibilidade vem da interação (operador x parte) e do erro.

Passo 5

Gráficos de controle (Xbar-R por célula) — como construí e checagens (passo a passo didático).
  • Estrutura usada: cada célula (i,j) (parte i, operador j) tem r=2 observações. Para cada célula calculei:
    • Média da célula \overline{x}_{ij} = \dfrac{x_{ij1}+x_{ij2}}{2}.
    • Alcance (range) da célula R_{ij} = |x_{ij1}-x_{ij2}|.
  • Constantes padrão para subgrupos de tamanho n=2:
    • A_2 = 1{,}880, D_3 = 0, D_4 = 3{,}268 (tabela clássica de controle estadístico).
  • Primeiro calculei a média global \overline{x}=10{,}08 (já obtida) e a média dos ranges:
    • Soma de todos os ranges = 6{,}00 (soma de 25 ranges); portanto \overline{R} = \dfrac{6{,}00}{25} = 0{,}24.
  • Limites do gráfico Xbar: UCL_{\overline{x}} = \overline{x} + A_2\overline{R} = 10{,}08 + 1{,}880\times 0{,}24 = 10{,}08 + 0{,}4512 = 10{,}5312,
LCL_{\overline{x}} = \overline{x} - A_2\overline{R} = 10{,}08 - 0{,}4512 = 9{,}6288.
  • Limites do gráfico R: UCL_R = D_4\overline{R} = 3{,}268\times 0{,}24 = 0{,}78432,\qquad LCL_R = D_3\overline{R} = 0.
  • Verificação de sinais:
    • Os 25 valores de \overline{x}_{ij} estão entre aproximadamente 9{,}65 e 10{,}45 — todos dentro de [9{,}6288,\;10{,}5312] → sem pontos fora dos limites no Xbar.
    • Os 25 ranges R_{ij} variam entre 0{,}0 e 0{,}6 — todos dentro de [0,\;0{,}7843] → sem pontos fora dos limites no R.
  • Conclusão dos gráficos de controle: não há pontos fora dos limites de controle nem padrão óbvio (tendência, ciclos) detectados nas séries de médias e ranges das células. Isso significa que, pelo critério de estabilidade estatística (controle), o processo de medição apresenta comportamento “estacionário” no período observado; porém estabilidade não significa precisão adequada para distinguir produtos — que é questão de tamanho do erro relativo à variação entre partes (ver Passo 4).

Passo 6

Interpretação dos resultados (repetitividade, reprodutibilidade, vício, precisão) e recomendações práticas.
  • Repetitividade (variação dentro da mesma célula): \sigma_e \approx 0{,}199. Isso é a incerteza típica ao fazer medições repetidas, e não é pequeno comparado à variação entre medições totais. Para uma medição de 10{,}08, um desvio de 0{,}20 representa ~2% do valor nominal.
  • Reprodutibilidade:
    • Variação entre operadores “fixa” \sigma_o \approx 0{,}055 é relativamente pequena (operadores, em média, não deslocam muito a leitura), então não há grande viés constante de um operador sobre outro.
    • Entretanto a interação parte \timesoperador \sigma_{po} \approx 0{,}202 é grande — isto é crítico: significa que os operadores medem de maneira diferente dependendo da parte. Em termos práticos, pode indicar técnica de posicionamento do produto, consistência de enchimento localizada, orientação do pacote na balança, convecção, vibração, ou leitura subjetiva de marcações.
  • Sistema de medição (Gage R&R):
    • \sigma_{\text{GRR}} \approx 0{,}289.
    • \%GRR \approx 107\% em relação à variação total observada — valor muito alto. Como regra prática comum:
      • \%GRR < 10\%: sistema aceitável.
      • 10\%-30\%: precaução / investigar.
      • >30\%: sistema inaceitável.
    • Aqui >30\% (na verdade muito maior) indica que o sistema de medição é inaceitável: a variabilidade do sistema é maior que a variabilidade entre os produtos — o sistema não consegue distinguir diferenças reais entre produtos.
  • Vício (bias):
    • Não há referência padrão (um valor “verdadeiro”) nos dados, então não posso calcular bias absoluto. Contudo, as médias dos operadores variam um pouco (de \approx 9{,}93 a \approx 10{,}22), mas este efeito é pequeno frente à interação e à repetitividade. Ou seja: não detectei um grande “vício” constante de um operador em todo o conjunto; o problema maior é a interação e o ruído.
  • Conclusão prática:
    • O processo de medição parece estável (gráficos de controle sem pontos fora dos limites), mas tem precisão insuficiente — em particular a combinação repetitividade + interação domina a variância e impede distinguir as partes.
    • As partes são muito homogêneas entre si (diferença entre partes é praticamente zero perante o ruído), então até um sistema de medição razoavelmente bom teria dificuldade se a tolerância aceitável for muito pequena.

Passo 7

Recomendações específicas e ações sugeridas (priorizadas).
  1. Verificar e calibrar o instrumento de pesagem:
    • Fazer calibração com pesos padrão rastreáveis (pesos-padrão) para avaliar bias absoluto e corrigir se necessário.
    • Verificar resolução e sensibilidade da balança; se resolução menor que a variabilidade desejada, trocar por equipamento mais preciso.
  2. Procedimento de medição e treinamento:
    • Padronizar posicionamento do produto na balança (mesma orientação, mesma forma de colocar/remover).
    • Treinar operadores para seguir procedimento único (tempo de estabilização, evitar toque durante leitura, etc.).
    • Registrar fatores ambientais (corrente de ar, vibração) e minimizar sua influência (abrir/fechar caixa, usar câmara de pesagem).
  3. Reduzir a interação parte \timesoperador:
    • Fazer uma análise qualitativa: observar como cada operador posiciona diferentes partes; ver se há peças com formas que mudam a resposta.
    • Se for por manuseio, preparar gabaritos ou posicionadores que fixem a posição do produto na balança.
  4. Repetir estudo Gage R&R após implementar mudanças:
    • Após calibração e padronização, repetir o experimento (mesma estrutura 5 partes \times5 operadores \times2 rep) e comparar \%GRR.
  5. Considerar aumento do número de repetições ou uso de equipamento mais preciso se for necessário distinguir pequenas diferenças comerciais (especificar tolerância alvo ajuda a decidir).
  6. Se houver um valor de especificação/tolerância (USL/LSL), calcular \%GRR em relação à tolerância: \%GRR_{tol} = \dfrac{6\sigma_{GRR}}{USL-LSL}\times100\% para decidir aceitabilidade frente à tolerância do produto.

Passo 8

Resumo final curto para o relatório (o que deve constar no relatório de entrega)
  • Dados e método: experimento balanceado 5\times5\times2, ANOVA two-way e Gage R&R por ANOVA; gráficos Xbar-R por célula.
  • Estatísticas básicas: média geral \overline{x}=10{,}08, desvio total s\approx 0{,}2695, mínimo 9{,}6, máximo 10{,}5.
  • Resultados Gage R&R: \sigma_e\approx 0{,}199 (repetitividade), \sigma_{po}\approx 0{,}2019 (interação), \sigma_o\approx 0{,}0551 (operador), \sigma_{\text{GRR}}\approx 0{,}289.
  • Avaliação: \%GRR \approx 107\% (sistema inaceitável segundo critérios práticos).
  • Gráficos de controle: Xbar-R sem pontos fora de controle (estável), mas estabilidade não garante precisão suficiente.
  • Recomendações: calibrar equipamento, padronizar procedimento e treinar operadores, mitigar interaction, e repetir estudo após ações corretivas.

Resposta

Média geral \overline{x}=10{,}08.
Desvio-padrão total s\approx 0{,}2695.
Mínimo =9{,}6, máximo =10{,}5.
Médias por operador: A=10{,}10, B=9{,}98, C=10{,}17, D=10{,}22, E=9{,}93.
Repetitividade (equipamento) \sigma_e\approx 0{,}199.
Interação parte \timesoperador \sigma_{po}\approx 0{,}2019.
Variação operador \sigma_o\approx 0{,}0551.
Estimativa da variação entre partes indistinguível de zero (nenhuma diferença detectável além do ruído).
Gage R&R total \sigma_{\text{GRR}}\approx 0{,}289.
\%GRR \approx 107\% (sistema de medição inaceitável para distinguir as partes).
Gráficos Xbar-R: sem pontos fora de controle (estável), mas não suficientemente preciso.
Recomendações: calibrar balança, padronizar procedimento de medição, treinar operadores, mitigar interação (posicionadores/gabaritos), e repetir Gage R&R após correções.

Exercícios relacionados