Seja a construção de um plano para garantir a qualidade dos parafusos vendidos em caixas com 100 unidades. Um dos requisitos é controlar o comprimento médio dos parafusos. Quer-se saber quantos parafusos de-ve-se examinar em cada caixa, para garantir que a média da amostra (
) não difira do comprimento médio dos parafusos da caixa (
) em mais que
. Considere que a estimação seja realizada com nível de confiança de
. Análises feitas na linha de produção indicam variância em torno de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
- O objetivo: determinar quantos parafusos devem ser examinados em cada caixa (cada caixa contém
parafusos) para que a média amostral não difira da média da caixa em mais que , com nível de confiança de . - Informações fornecidas:
- Tamanho da população (por caixa):
. - Margem máxima admissível (erro máximo):
. - Nível de confiança:
(logo usaremos o quantil correspondente). - Variância conhecida (estimada na linha):
. Portanto .
- Tamanho da população (por caixa):
O que se pede: o tamanho da amostra
(número de parafusos a inspeccionar em cada caixa) que garante o erro máximo
com
de confiança.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando a variância populacional é conhecida e estamos amostrando sem reposição de uma população finita de tamanho
, a margem de erro (metade do comprimento do intervalo de confiança) para a média é dada por
onde:
-
é a margem de erro desejada ( mm aqui), -
é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança (para use ), -
é o desvio padrão populacional ( mm aqui), -
é o tamanho da amostra a determinar, -
é o fator de correção para população finita (FPC — finite population correction). Esse fator reduz a variabilidade quando a amostra é retirada sem reposição de uma população pequena (a amostra não pode exceder ).
Explicando em palavras: sem a correção finita, a margem de erro seria
. Como estamos pegando uma amostra sem reposição de uma caixa com apenas
itens, usamos a FPC para ajustar o erro para baixo, permitindo frequentemente amostras menores.
Passo 3
Isolar
na fórmula: manipulação algébrica passo a passo.
Partimos de
Elevar ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandir o lado direito e recolher os termos com
no mesmo membro:
Passar o termo
para o lado esquerdo:
Logo:
Essa é a fórmula prática para o tamanho de amostra quando se usa correção para população finita.
Passo 4
Substituir os valores numéricos (mostrar contas detalhadas).
Dados:
,
,
(portanto
),
.
Calcular
:
Primeiro
. Então
Calcular
:
Agora aplicar a fórmula:
Dividindo:
Passo 5
Interpretação e arredondamento (o que fazer na prova).
O
obtido é o número real necessário para garantir a margem de erro. Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro de unidades e devemos garantir que o erro não ultrapasse
, sempre arredondamos para cima (teto). Assim, escolheríamos
para garantir a condição pedida.
Observação útil: se ignorássemos a correção para população finita (como se
fosse muito grande), a fórmula simplificada seria
Substituindo os números:
Esse valor (
) é um pouco maior porque a FPC reduz a variância efetiva quando a população é pequena; por isso, usando a FPC encontramos
e, logo,
(menor que
, o que faz sentido).
Passo 6
Resumo final didático e incentivo rápido.
- Usamos a fórmula do intervalo de confiança para média com variância conhecida e correção para população finita.
- Obtivemos
e, arredondando por excesso para garantir a margem de erro, escolhemos . - Boa notícia: precisa-se examinar pouquíssimos parafusos por caixa (apenas
) para ter a precisão exigida — aproveite isso na hora da prova para justificar o uso da FPC se a população for pequena.
Resposta
11