Seja a construção de um plano para garantir a qualidade dos parafusos vendidos em caixas com 100 unidades. Um dos requisitos é controlar o comprimento médio dos parafusos. Quer-se saber quantos parafusos de-ve-se examinar em cada caixa, para garantir que a média da amostra ( \bar{x} ) não difira do comprimento médio dos parafusos da caixa ( \mu ) em mais que 0,8 \mathrm{~mm}. Considere que a estimação seja realizada com nível de confiança de 95 \%. Análises feitas na linha de produção indicam variância em torno de 2 \mathrm{~mm}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
  • O objetivo: determinar quantos parafusos devem ser examinados em cada caixa (cada caixa contém 100 parafusos) para que a média amostral \bar{x} não difira da média da caixa \mu em mais que 0{,}8\\ \text{mm}, com nível de confiança de 95\%.
  • Informações fornecidas:
    • Tamanho da população (por caixa): N = 100.
    • Margem máxima admissível (erro máximo): E = 0{,}8\\ \text{mm}.
    • Nível de confiança: 95\% (logo usaremos o quantil z correspondente).
    • Variância conhecida (estimada na linha): \sigma^{2} = 2\\ \text{mm}^{2}. Portanto \sigma = \sqrt{2}\\ \text{mm}.
O que se pede: o tamanho da amostra n (número de parafusos a inspeccionar em cada caixa) que garante o erro máximo E com 95\% de confiança.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando a variância populacional é conhecida e estamos amostrando sem reposição de uma população finita de tamanho N, a margem de erro (metade do comprimento do intervalo de confiança) para a média é dada por
E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}},
onde:
  • E é a margem de erro desejada ( 0{,}8 mm aqui),
  • z é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança (para 95\% use z \approx 1{,}96),
  • \sigma é o desvio padrão populacional ( \sqrt{2} mm aqui),
  • n é o tamanho da amostra a determinar,
  • \sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}} é o fator de correção para população finita (FPC — finite population correction). Esse fator reduz a variabilidade quando a amostra é retirada sem reposição de uma população pequena (a amostra não pode exceder N).
Explicando em palavras: sem a correção finita, a margem de erro seria z\cdot\sigma/\sqrt{n}. Como estamos pegando uma amostra sem reposição de uma caixa com apenas 100 itens, usamos a FPC para ajustar o erro para baixo, permitindo frequentemente amostras menores.

Passo 3

Isolar n na fórmula: manipulação algébrica passo a passo.
Partimos de
E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}.
Elevar ao quadrado ambos os lados:
E^{2} = z^{2} \cdot \frac{\sigma^{2}}{n} \cdot \frac{N-n}{N-1}.
Multiplicando ambos os lados por n(N-1):
E^{2}(N-1)\,n = z^{2}\sigma^{2}(N-n).
Expandir o lado direito e recolher os termos com n no mesmo membro:
E^{2}(N-1)\,n = z^{2}\sigma^{2}N - z^{2}\sigma^{2}n.
Passar o termo - z^{2}\sigma^{2}n para o lado esquerdo:
\bigl(E^{2}(N-1) + z^{2}\sigma^{2}\bigr)\,n = z^{2}\sigma^{2}N.
Logo:
\boxed{\,n = \dfrac{z^{2}\sigma^{2}N}{E^{2}(N-1) + z^{2}\sigma^{2}}\,}.
Essa é a fórmula prática para o tamanho de amostra quando se usa correção para população finita.

Passo 4

Substituir os valores numéricos (mostrar contas detalhadas).
Dados: N=100, E=0{,}8, \sigma^{2}=2 (portanto \sigma=\sqrt{2}), z=1{,}96.
Calcular z^{2}\sigma^{2}:
z^{2}\sigma^{2} = (1{,}96)^{2}\cdot 2.
Primeiro (1{,}96)^{2} = 3{,}8416. Então
z^{2}\sigma^{2} = 3{,}8416 \cdot 2 = 7{,}6832.
Calcular E^{2}(N-1):
E^{2}(N-1) = (0{,}8)^{2}\cdot(100-1) = 0{,}64\cdot 99 = 63{,}36.
Agora aplicar a fórmula:
n = \frac{7{,}6832 \cdot 100}{63{,}36 + 7{,}6832} = \frac{768{,}32}{71{,}0432}.
Dividindo:
n \approx 10{,}814\\ \text{(valor aproximado)}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento (o que fazer na prova).
O n obtido é o número real necessário para garantir a margem de erro. Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro de unidades e devemos garantir que o erro não ultrapasse E, sempre arredondamos para cima (teto). Assim, escolheríamos n = 11 para garantir a condição pedida.
Observação útil: se ignorássemos a correção para população finita (como se N fosse muito grande), a fórmula simplificada seria
n_{0} = \left(\frac{z\cdot\sigma}{E}\right)^{2}.
Substituindo os números:
n_{0} = \left(\frac{1{,}96\cdot\sqrt{2}}{0{,}8}\right)^{2} \approx 12{,}00.
Esse valor ( \approx 12) é um pouco maior porque a FPC reduz a variância efetiva quando a população é pequena; por isso, usando a FPC encontramos n\approx 10{,}814 e, logo, n=11 (menor que n_{0}, o que faz sentido).

Passo 6

Resumo final didático e incentivo rápido.
  • Usamos a fórmula do intervalo de confiança para média com variância conhecida e correção para população finita.
  • Obtivemos n\approx 10{,}814 e, arredondando por excesso para garantir a margem de erro, escolhemos n=11.
  • Boa notícia: precisa-se examinar pouquíssimos parafusos por caixa (apenas 11) para ter a precisão exigida — aproveite isso na hora da prova para justificar o uso da FPC se a população for pequena.

Resposta

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