Sejam x, y e z vetores no \mathbb{R}^{n} tais que x+y=z. Prove que x=z-y. Ou seja, podemos "passar"o y para o outro lado diminuindo.
Dica: Use as propriedades listadas em aula.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existem vetores \,x,y,z\in\mathbb{R}^n.
  • Está dada a igualdade \;x+y=z.
O que é pedido:
  • Provar que \;x=z-y. Em outras palavras, mostrar que podemos “passar” o y para o outro lado trocando por -y (subtração).

Passo 2

Relembrando (de forma bem explícita) as propriedades de vetores que usaremos:
  • Existe um vetor nulo \,0\in\mathbb{R}^n tal que, para todo vetor \,v, \;v+0=v (identidade aditiva).
  • Para todo vetor \,v existe um inverso aditivo \,-v tal que \;v+(-v)=0.
  • A adição vetorial é associativa: para quaisquer a,b,c vale \;(a+b)+c=a+(b+c).
  • Se duas quantidades são iguais, pode-se somar o mesmo vetor aos dois lados: se \;A=B então, para qualquer c, \;A+c=B+c.
Além disso, definimos subtração por
z-y:=z+(-y).

Passo 3

Começamos a partir da igualdade dada:
x+y=z.
Aplicando a propriedade de que podemos somar o mesmo vetor aos dois lados da igualdade, somamos (-y) a ambos os lados:
(x+y)+(-y)=z+(-y).

Passo 4

Usamos a associatividade da adição no membro esquerdo para reescrever:
x+(y+(-y))=z+(-y).
Aqui justificamos passo a passo: movemos os parênteses sem mudar o valor porque a adição é associativa.

Passo 5

Pelo fato de (-y) ser o inverso aditivo de y, temos \;y+(-y)=0. Substituindo isso na expressão anterior obtemos:
x+0=z+(-y).

Passo 6

Usando a propriedade do elemento neutro aditivo, x+0=x, concluímos:
x=z+(-y).

Passo 7

Pela definição de subtração que escrevemos antes, z-y:=z+(-y). Portanto a igualdade anterior pode ser escrita como
x=z-y,
que é exatamente o que se queria provar.

Resposta

x=z-y

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