Sejam
e
vetores no
tais que
. Prove que
. Ou seja, podemos "passar"o
para o outro lado diminuindo.
Dica: Use as propriedades listadas em aula.
Dica: Use as propriedades listadas em aula.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existem vetores
. - Está dada a igualdade
.
O que é pedido:
- Provar que
. Em outras palavras, mostrar que podemos “passar” o para o outro lado trocando por (subtração).
Passo 2
Relembrando (de forma bem explícita) as propriedades de vetores que usaremos:
- Existe um vetor nulo
tal que, para todo vetor , (identidade aditiva). - Para todo vetor
existe um inverso aditivo tal que . - A adição vetorial é associativa: para quaisquer
vale . - Se duas quantidades são iguais, pode-se somar o mesmo vetor aos dois lados: se
então, para qualquer , .
Além disso, definimos subtração por
Passo 3
Começamos a partir da igualdade dada:
Aplicando a propriedade de que podemos somar o mesmo vetor aos dois lados da igualdade, somamos
a ambos os lados:
Passo 4
Usamos a associatividade da adição no membro esquerdo para reescrever:
Aqui justificamos passo a passo: movemos os parênteses sem mudar o valor porque a adição é associativa.
Passo 5
Pelo fato de
ser o inverso aditivo de
, temos
. Substituindo isso na expressão anterior obtemos:
Passo 6
Usando a propriedade do elemento neutro aditivo,
, concluímos:
Passo 7
Pela definição de subtração que escrevemos antes,
. Portanto a igualdade anterior pode ser escrita como
que é exatamente o que se queria provar.